lunes, 23 de diciembre de 2013

El lenguaje de las matemáticas

A cualquier alumno de Educación Primaria al que le preguntes por las Matemáticas pensará principalmente en números y en figuras geométricas, pero si la misma pregunta se la formulamos a cualquiera que esté en Secundaria, entonces aquí ya empiezan a aparecer las temidas ecuaciones, las funciones, etc. No cabe duda de que el paso del primer al segundo nivel educativo está basado en la incorporación de las letras y otros muchos símbolos a la resolución de ejercicios y problemas matemáticos. Esto no quiere decir que los alumnos de 6 a 12 años nunca hayan visto letras y otros caracteres 'extraños' en esos seis cursos, puesto que ya se las encuentran a la hora de aprenderse la fórmula del área del triángulo, o cuando resuelven una raíz cuadrada, o cuando se mezclan varias operaciones con paréntesis. En cualquier caso, a partir de 1º ESO la cosa empieza a complicarse cada vez más, tanto que los alumnos terminan por inventarse la forma en la que se deben expresar las matemáticas, y al mismo tiempo incluso ya ni siquiera escriben un poco de 'literatura' en los problemas escudándose en que "estamos en clase de Matemáticas, no de Lengua".
Quizás yo no sea el más indicado para hablar de esto, pero después de un curso y lo que llevamos de éste como profesor de esta materia, además de los años que llevo como profesor particular, creo que he acumulado una experiencia mínima y suficiente como para dar una opinión más que fundamentada acerca de cómo se expresan los alumnos de Secundaria en la asignatura de Matemáticas. Tal y como he comentado en el párrafo anterior, hablo básicamente de dos situaciones: aquélla en la que se expresan mal y aquélla en la que directamente no lo hacen. A fin de cuentas, en ambos casos estamos hablando de lo que podríamos llamar de forma global como 'lenguaje matemático', puesto que, al igual que el castellano tiene unas normas que dictan cuándo y cómo hay que expresarse, las matemáticas no son más que un idioma más que tenemos que aprender a utilizar como es debido.
Empecemos analizando el cómo hay que expresarse en matemáticas apoyándonos en la primera situación que he citado, es decir, en la que los alumnos se expresan mal. El curso pasado fui profesor de Matemáticas de dos grupos de 1º ESO, y en éste vuelvo a serlo precisamente de esos mismos dos grupos, ahora ya en 2º ESO. Ya el curso pasado le tuve que leer la cartilla más de una vez a mis alumnos cuando me encontraba ejercicios tanto en sus libretas como en sus exámenes que, si bien estaban resueltos correctamente, no estaban bien expresados, y por este motivo lo primero que hice nada más empezar el curso actual fue recordarles el tipo de fallos que suelen cometer y que no estoy dispuesto a tolerar más veces. No me acuerdo exactamente del ejemplo que puse, pero sería del estilo de éste:
1 + 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 4 = 6 + 4 = 10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 3 + 3 = 6 + 4 = 10
Creo que no hace falta explicar por qué la primera expresión es la correcta y la segunda no lo es, pero obviamente yo lo hice a la hora de exponerlo a los alumnos para que se dieran cuenta del crimen que estaban cometiendo. Éste era el típico fallo del curso pasado, pero este curso, a pesar de este aviso inicial, han ido a peor, hasta tal punto que una de mis alumnas tuvo unos cuatro puntos menos en uno de los exámenes que ya hemos hecho por culpa de errores 'sintácticos' aunque los resultados finales eran correctos. En concreto, lo que esta chica hizo fue resolver castillos de fracciones de tal manera que, si en el numerador había por ejemplo una suma de fracciones dentro de un paréntesis para luego multiplicar el resultado por otra, en uno de los pasos de la resolución calculó las fracciones equivalentes del paréntesis para poder sumarlas (muy bien), pero dentro del mismo paréntesis puso un igual y la suma de dichas fracciones (muy mal) en vez de esperar al siguiente paso, en el que tendría que escribir el resultado de la suma y la fracción por la que iba a ser multiplicada. Sí, como os podéis imaginar, los cuatro puntos que perdió por culpa de fallos como éste le hicieron suspender el examen.
El siguiente tema que tenía que explicar a mis alumnos era el de las ecuaciones de primer y segundo grado, y claro, entre lo del curso pasado y lo que acaba de ocurrir en el tema de fracciones, era evidente que en cada clase tenía que recalcar por activa y por pasiva no tanto cómo se resuelven las ecuaciones, sino cómo hay que expresar los pasos que nos permiten resolverlas. Yo no sé cuántas veces les habré dicho que cada paso se separa o con un espacio, o con un punto y coma o con una flecha; que si estamos aplicando la famosa fórmula de las ecuaciones de segundo grado, entonces se utiliza el signo igual; que si el coeficiente 'b' de una ecuación de segundo grado es negativo, entonces al elevarlo al cuadrado hay que encerrarlo entre paréntesis; que el signo igual se escribe a la altura de la fracción principal; que si sacamos factor común cuando falta el coeficiente 'c', entonces tenemos que indicar que igualamos a cero los dos factores; que si falta el coeficiente 'b', entonces hay que poner un signo más y un signo menos antes de la raíz cuadrada; etc. Bueno, pues cada vez que les decía este tipo de cosas lo hacía con su correspondiente explicación razonada, pero se ve que después de repetirlo 358 veces todavía no han captado el mensaje. Cierto es que en el examen han cometido muchos menos errores, pero aún así siguen siendo muchos.
¿Por qué los alumnos no se expresan bien en Matemáticas? Ya sabemos que esta asignatura es el talón de Aquiles de la mayoría de los alumnos, y es por este motivo por el que muchos de ellos celebran un simple aprobado como si un equipo de fútbol ganase la Champions League, es decir, que se conforman con poco, ya no solamente en lo que al cálculo se refiere (saber sumar, restar, multiplicar y dividir), sino también a la hora de expresarse. El problema con respecto a esto último es que los profesores no le estamos haciendo ver a los alumnos (digo estamos para no apartarme del resto del profesorado, aunque demostrado queda que yo sí lo hago) que las matemáticas son un idioma de la misma forma que lo es el castellano, el inglés o cualquiera de los miles que se hablan en el mundo, pero con una particular característica: es el único que aprenden todos los alumnos que van al colegio, ya sean españoles, ingleses, chinos o keniatas.
Esto quiere decir que las matemáticas son un idioma universal, como ya advirtió Galileo cuando afirmó que "las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo", y esta cita no puede ser más acertada, puesto que, como todo idioma, usa un alfabeto con el cual construye sus expresiones a partir de una serie de normas. Si el castellano utiliza las letras de la 'a' a la 'z' y símbolos como los signos de puntuación, y normas como que un sujeto no puede estar separado del predicado por una coma, que la primera letra de una frase se escribe en mayúscula o que todas las palabras esdrújulas llevan tilde, con las matemáticas ocurre algo similar. El alfabeto es más amplio (números, letras, operadores matemáticos, signos de igualdad y desigualdad, caracteres extraños como el de 'existe' o 'para todo'...) y normas hay muchas: las que he comentado antes, que el signo menos antes de un paréntesis cambia el signo de todos los sumandos, que en una integral hay que indicar la variable de integración, que si escribimos un número seguido de una letra quiere decir que se están multiplicando, etc.
Los profesores de Matemáticas no podemos conformarnos (y aquí sí que no me aparto del resto del profesorado, porque reconozco que alguna que otra vez he tenido la mano floja a la hora de no sancionar ciertos errores) con que un alumno llegue a la respuesta correcta sin que el procedimiento esté bien expresado número por número, letra por letra. En las clases deberíamos prestar no solamente atención a cómo resolver ejercicios y problemas, sino sobre todo a saber transmitirlos correctamente, repitiéndolo hasta la saciedad si hace falta, porque entonces de qué sirve aprender un idioma universal si al final cada uno se expresa a su manera.
Y esto me lleva a la segunda situación de la que quiero opinar, aquélla en la que los alumnos ya ni se expresan, y no porque no hayan sabido resolver un ejercicio o, principalmente, un problema, sino porque de nuevo se conforman con poco y se preocupan únicamente de calcular el resultado final. La escena es harto habitual: les ponemos por ejemplo un problema de ecuaciones, lo resuelven y terminan con un escueto x = 5. ¡¡¡NO!!! Un problema no es un ejercicio más, es una situación real cuya solución va más allá de un número. Recuerdo perfectamente que uno de los profesores del departamento de Matemática Aplicada de mi facultad explicó a los alumnos del Curso Cero de Matemáticas en el que yo colaboraba que cuando nos dan un problema de la vida real tenemos que convertirlo en un problema matemático, de aquí obtener su solución matemática, y de ésta volver al problema original para deducir su solución real. ¿Qué pasa? Pues que los alumnos se comen este último paso con patatas.
Imaginaos el típico problema geométrico de la vida real que se resuelve con ecuaciones de segundo grado. Planteamos correctamente la ecuación, la resolvemos y obtenemos dos soluciones: una con valor positivo y otra con valor negativo. No podemos quedarnos aquí, no podemos dejar que los alumnos se conformen con llegar a este punto. Hay que enseñarles, y penalizarles como es debido en caso de no hacerlo, que en el problema original (el de la vida real, no el matemático) no tienen sentido ciertas soluciones matemáticas, y esto hay que razonarlo primero y expresarlo después. Como decía al principio de este post, hay que enseñarles a escribir un poco de 'literatura'. Tenemos que hacer caso omiso al manido comentario de que "estamos en clase de Matemáticas, no de Lengua", y obligarles a decir que la solución del problema es que el lado del rectángulo tiene que medir 8 metros y no -2 metros porque las distancias negativas no tienen sentido. A los alumnos les cuesta mucho escribir unas cuantas palabras seguidas, y menos mal que en Matemáticas no tienen que redactar demasiado, que si no los profesores de esta asignaturas, entre esto y los fallos 'sintácticos' que comentaba antes, ya estaríamos calvos de tanto tirarnos de los pelos.
El problema es que la cosa no queda solamente aquí. Ya supone un esfuerzo conseguir que expresen en una oración la solución de un problema, otro tanto sucede cuando tienen que indicar las unidades de medida de lo que están calculando. Venga, antes hablábamos de que obteníamos x = 5, pero ¿5 qué? ¿5 metros? ¿5 litros? ¿5 personas? ¿5 manzanas? Si no indicamos de qué estamos hablando, después pasa lo que pasa, que no saben qué dato utilizar en cada caso, que mezclan la velocidad con el tocino, y que resuelven un problema que no tiene ni pies ni cabeza. Aquí también hay que ser estrictos con los alumnos y enseñarles que poner una palabra al lado de cada número ayuda más de lo que parece, puesto que te permite identificar qué estás calculando, qué estás obteniendo y qué dato puedes y tienes que utilizar en el siguiente paso. Eso sí, cuidado con equivocarse con esa palabrita, que ponemos kilómetros en vez de millas y ocurren cosas como ésta. Ya hemos dicho que los problemas suelen estar basados en hechos reales, como muchas películas, pero lo que vemos en éstas es ficción, y la vida real es real, donde los errores se pagan caro, y rara vez se puede volver atrás para enmendarlos.
Bueno, todo esto que he contado acerca de que al final de cada problema los alumnos deben escribir una pequeña frase con la solución y demás es el resultado de que supuestamente los alumnos han sabido plantear el problema desde el principio, es decir, que han sabido interpretar el enunciado propuesto, cosa que como sabemos tampoco sucede. Uno de los principales problemas del alumnado en la asignatura de Matemáticas son los problemas, valga la redundancia, y es que ellos podrán aprender perfectamente a resolver una ecuación de segundo grado, pero encontrar la ecuación que modela lo que se dice en el enunciado es una montaña para ellos. Los alumnos no saben traducir del lenguaje ordinario (castellano, inglés, el idioma que sea) al lenguaje matemático (número, letras, operadores), y esto se debe a que no comprenden lo que leen básicamente porque no están acostumbrados a leer.
¿Qué adolescente de hoy en día lee libros por su propia iniciativa? La coletilla final de la pregunta está puesta a propósito, ya que en la asignatura de Lengua suelen obligarles a leer dos o tres libros cada curso, pero está claro que no es lo mismo leer por obligación que por gusto, y es en este caso cuando realmente se aprende más. Los alumnos no leen prácticamente nada, y como prueba de ello os cuento una anécdota de esta misma semana en la que un grupo de alumnas me preguntó qué me iba a pedir para Reyes Magos, a lo que les respondí que solamente libros. Las alumnas empezaron a reírse de inmediato como diciendo "tú eres un aburrido". A mí me sentó un poco mal la reacción que ellas tuvieron, y no porque me sintiera ofendido, ya que a mí me entra por un oído y me sale por el otro, sino porque ellas están perdiendo la oportunidad de disfrutar de la lectura y porque precisamente este hobby les podría reportar unos beneficios incalculables no sólo en la asignatura de Lengua, sino también en la de Matemáticas, Sociales, Naturales... Bueno, en todas. Cuidado, que no estoy queriendo decir que exista una relación causa-efecto entre la lectura y la resolución de problemas matemáticos que se cumpla en el 100% de los casos, pero sí que es cierto que leer con frecuencia aporta mucho vocabulario y facilita la comprensión de cualquier texto que nos pongan por delante, ya sea el fragmento de un poema, la narración de una guerra o el enunciado de un problema.
Los profesores de Matemáticas solemos alardear, a veces más de la cuenta, de que las matemáticas se encuentran en todas partes y de que nuestra asignatura es una de las más importantes, si no la que más, pero también sabemos reconocer que uno de los pilares de la educación, y por ende de la sociedad actual, es saber expresarse de forma oral y escrita, y qué menos que dominar nuestro propio idioma si luego queremos utilizarlo para traducir al inglés, al francés, al chino o al lenguaje matemático. Alumnos, repetid conmigo: ¡Hay que leer más! Y bueno, ya que estamos, conviene recordar que hay libros que tienen un trasfondo matemático más o menos profundo que bien podrían ser utilizados para intentar corregir este último problema que he comentado, como por ejemplo los que ya recomendé años atrás en este post, otros que he leído posteriormente y muchos más que hay en las librerías.
Pues nada, perdonad toda esta parrafada que os he soltado, y os aplaudo si habéis sido capaces de llegar hasta aquí del tirón. Por resumir un poco todo lo que he explicado, se me ocurren unas cuantas líneas de actuación que podríamos aplicar y seguir los profesores de Matemáticas si queremos que nuestros alumnos cambien las lágrimas que suelen derramar cuando suspenden un examen de nuestra asignatura por una sonrisa como la de la chica de la foto de arriba, que cualquiera diría que está tan feliz por haber resuelto un problema matemático:
  • Hacerles ver que las matemáticas son un idioma en el que hay que saber expresarse adecuadamente.
  • Dedicar tiempo a explicar qué significan y cómo se utilizan los diferentes símbolos matemáticos.
  • Resolver ejercicios y problemas de varias formas.
  • Penalizar en los exámenes los errores que cometen, no solamente de cálculo, sino también de 'sintaxis' matemática.
  • Fomentar la lectura por placer, y mejor si los libros están relacionados con las matemáticas.
  • Enseñarles a traducir del lenguaje ordinario al matemático, y viceversa.
A mí se ocurren estas líneas de actuación a tenor de mi experiencia, pero a buen seguro que otros profesores tendrán las suyas, así que agradecería que, si alguno de vosotros está leyendo este post, comparta sus vivencias y sus propias soluciones. Todo sea por que nuestros alumnos aprendan no solamente matemáticas, sino a saber expresarse en matemáticas.

Nota: este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta trigesimonovena edición, también denominada 4.123105625, está organizado por Elisa Benítez a través de su blog Que no te aburran las M@TES.

domingo, 15 de diciembre de 2013

Adivina quién soy (XXII)

Seguimos con la rotación de juegos, y ahora toca 'Adivina quién soy', un juego en el que tendréis que adivinar quién es el famoso personaje que se esconde tras las pistas que os iré dando periódicamente. Os recuerdo las normas que tenéis que respetar para poder jugar:
  • Sólo se puede dar una respuesta por cada pista que se proporcione (las tres primeras pistas cuentan como si fueran una sola), es decir, no vale decir el nombre de dos o más personajes entre la pista 'X' y la 'X + 1'. Si alguien incumple esta norma, no se tendrán en cuenta sus posteriores intentos en dicha prueba, pero sí podrá participar en las posteriores.
  • Si queréis una nueva pista, basta con que dejéis un comentario en el que intentéis adivinar el personaje, es decir, tendríais que decir algo como 'Creo que es Pepito Pérez'.
  • Sólo proporcionaré una pista por día, por lo que si hoy dos personas propusiesen dos soluciones posibles, hoy os daría una pista y mañana otra.
  • No se puede participar identificándose como 'Anónimo'. Toda respuesta que se dé con dicha identificación no será tenida en cuenta bajo ningún concepto.
  • En el caso de que se lleguen a dar diez pistas, el plazo para responder terminará a las 23:59h del día siguiente al que se publicó la décima pista. Si nadie lo adivina, os daré la solución y la explicación de todas las pistas.
Ahora sí, vamos con las pistas:
  1. Mujer.
  2. Viva.
  3. Dedos unidos.
  4. Como una de Lope.
  5. Casada dos veces, pero sin hijos.
  6. La Decisora.
¡Mucha suerte!

sábado, 7 de diciembre de 2013

No es mío, pero es interesante (LXII)

Con bastante diferencia, la sección 'No es mío, pero es interesante', en la que os recomiendo las entradas de otros blogs y webs que más me han interesado en las últimas semanas, es la que más entregas tiene del blog. En casi todas ellas, varios blogs han aportado varios posts; en ésta en concreto tenemos los casos de Microsiervos, Gaussianos y el Blog de Luis Piedrahita con siete, dos y dos aportaciones, respectivamente. Y, como siempre, la variedad es lo que predomina en los enlaces recomendados: matemáticas, ciencia, astronomía, humor, curiosidades, vídeos, magia, etc.
Repasemos ahora sí los enlaces de esta entrega:
¿Qué os han parecido las recomendaciones de esta entrega? Espero que os hayan resultado interesantes y que me lo hagáis saber a través de un comentario ;)