La potencia del 2 (I)

El título de esta entrada está escogido adrede para que tenga un doble significado. Uno de ellos pertenece al ámbito de las matemáticas, pues el concepto de potencia representa un producto en el que la base es multiplicada por sí misma tantas veces como indique el exponente; por ejemplo, tenemos que 3^4 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81. El segundo significado al que me refiero es la acepción más habitual para este término, y es el que nos lleva a pensar en la fuerza y el poder que tiene alguien o algo. Precisamente la unión de ambos significados aplicados al número 2 es lo que voy a intentar explicar tanto en esta entrada como en las otras dos que publicaré en los próximos meses, y en las cuales veremos que algo tan sencillo como multiplicar el 2 varias veces por sí mismo nos va a permitir hacer magia con los números, fascinarnos con algunas leyendas e incluso calcular cuántos antepasados tenemos. Así pues, preparémonos para admirar el poder de la potencia del 2.

Vamos a empezar con un truco de magia que es muy fácil de aprender y que estoy seguro que vais a querer poner en práctica con vuestros familiares y amigos para dejarles boquiabiertos. Únicamente vamos a necesitar las seis tarjetas que se muestran en la imagen, las cuales están numeradas desde la 0 hasta la 5, y en las cuales hay varios números que, a primera vista, no parecen seguir ninguna regla concreta, aunque, como comprobaremos en breve, realmente sí que existe un motivo por el que en cada una de ellas aparecen unos números u otros.

Pues bien, el truco consiste en lo siguiente: le pides a una persona que piense en un número del 1 al 63; luego, le das las seis tarjetas para que seleccione aquéllas en las que aparece ese número que ha pensado y te las devuelva; y ahora tú, en apenas cuatro o cinco segundos, le contestas adivinando el número que había pensado. ¿Cómo es posible?
A priori parece magia, y en parte se puede afirmar que algo tiene; sin embargo, en realidad este truco, como muchos otros, tiene una explicación matemática, y sí, las potencias del 2 juegan un papel muy importante aquí, pero, para que entendamos mejor cómo funciona, vamos a hacer el truco con un ejemplo de verdad. Supongamos que la persona a la que se le hace el truco ha pensado en el número 26, lo cual quiere decir que, tras examinar las tarjetas y buscar las que contienen dicho número, devuelve las tarjetas 1, 3 y 4 al mago, quien únicamente tiene que sumar el primer número que aparece en dichas tarjetas (2, 8 y 16, respectivamente) para, de esta forma, adivinar mágicamente que el número que había pensado esa persona era el 26.
¿Por qué ocurre esto? Para empezar, debes saber que cualquier número natural (los que son positivos y no tienen parte decimal: 1, 2, 3, 4...) puede expresarse como suma de una o varias potencias de 2 diferentes, ya que cada número tiene asociada una representación en sistema binario, ese que solamente utiliza las cifras 0 y 1, y, por consiguiente, dicha suma es única para cada número. Pues bien, el truco se explica porque cada tarjeta contiene aquellos números en cuya suma aparece la potencia de 2 correspondiente al número de la tarjeta, es decir, en la tarjeta 0 están los números en los que hay sumar 2^0 = 1, en la tarjeta 1 están los números en los que hay que sumar 2^1 = 2, en la tarjeta 2 están los números en los que hay que sumar 2^2 = 4, y así sucesivamente. Como el primer número de cada tarjeta coincide con la potencia de 2 correspondiente al número de la tarjeta (1, 2, 4, 8...), lo único que hay que hacer es sumar el primer número de cada una de las tarjetas en las que aparece el número pensado para adivinarlo y dejar boquiabierto a nuestro familiar o amigo al que le hacemos el truco.

Volviendo al ejemplo de antes, tenemos que la representación binaria del número 26 con seis cifras es 011010. Lo de los ceros y los unos no es más que un código que nos dice qué potencias de 2 tenemos que sumar, concretamente las correspondientes a los unos de dicha representación binaria; en este caso, teniendo en cuenta que la cifra situada a la derecha del todo está en la posición 0, tendríamos que sumar las potencias de 2 de las posiciones 1, 3 y 4, es decir, 2^1 = 2, 2^3 = 8 y 2^4 = 16, que, por supuesto, suman 26. Si, por ejemplo, el número pensado hubiese sido el 40, que es 32 + 8, entonces solamente lo encontraríamos en las tarjetas 3 y 5, por eso su número binario es 101000, que es el que solamente tiene unos en las posiciones 3 y 5.
Con seis tarjetas, como ocurre en nuestro ejemplo, el mayor número que podemos considerar es el que se obtiene al sumar las seis primeras potencias de 2, esto es, el 63 (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32), que también se puede obtener como 2^6 - 1 (64 - 1), pero, si quisiéramos aumentar la dificultad del truco, lo único que tenemos que hacer es añadir más tarjetas. En mi caso, yo le hago el truco a mis alumnos con ocho tarjetas, por lo que el mayor número que les puedo pedir que piensen es el 255 (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128), o sea, 2^8 - 1 (256 - 1). Como os podéis imaginar, se quedan alucinados cada vez que les adivino el número que han pensado, y a veces lo hago sin que me den las tarjetas, únicamente diciéndome en qué tarjetas está su número, puesto que, como buen ingeniero en informática y profesor de Matemáticas, me sé de memoria las potencias de 2, y sumar las que sean necesarias en cada caso no es que sea muy complicado.

Si os ha gustado esta primera utilidad de las potencias de 2, la que viene ahora es si cabe todavía más alucinante. Imagínate que el primer día de un mes cualquiera, el 1 de enero por ejemplo, te cruzas con una persona que te propone el siguiente trato: te regalo un millón de euros, pero, a cambio, hoy me tienes que pagar un céntimo; mañana, me das dos céntimos; pasado mañana, cuatro céntimos; sucesivamente, cada día me pagas el doble que el día anterior, y así hasta que termine el mes. ¿Aceptarías el trato?

Estoy seguro de que casi cualquier persona a la que se le hiciera esta propuesta aceptaría sin dudarlo un instante, puesto que un millón de euros no se gana todos los días, y total, lo que hay que abonar como compensación son solamente unos cuantos céntimos los primeros días, y en los siguientes serán solamente unos cuantos cientos de euros. Parece un negocio muy ventajoso, pero nada más lejos de la realidad. Si aceptas el trato, ten por seguro que acabarás arruinado, a no ser que seas millonario, que dudo que sea tu caso.
Este timo, porque no tiene otro nombre, es un ejemplo muy vistoso del crecimiento exponencial de las potencias de 2, y es que, si bien en el truco de magia anterior hemos visto que con las primeras potencias de 2 se obtienen valores pequeños (1, 2, 4, 8, 16...), conforme aumenta el exponente, el valor que se obtiene se hace cada vez mucho más grande. Si no te lo crees, compruébalo tú mismo analizando la siguiente tabla, en la que puedes comprobar que, si bien a mitad del mes solamente habrías pagado 327'67 €, el día 25 ya le habrías abonado al timador 335.544'31 €, y, una vez terminado el mes, habrías tenido que pagarle más de 21 millones de euros, es decir, que el balance final te depararía una pérdida de más de 20 millones de euros.

Por cierto, que hemos supuesto que el mes en el que se nos proponía este trato era enero, que tiene 31 días, pero también hubiésemos salido perdiendo en cualquier mes de 30 días (habríamos pagado casi 11 millones de €) e incluso en febrero, tenga 28 días o 29 por ser año bisiesto. ¿Cuánto habríamos abonado en estos dos casos? Es muy fácil calcularlo, y para ello no hace falta perder el tiempo sumando lo que se paga el primer día, el segundo, el tercer, el cuarto, y así hasta el día 28 o 29, pues sería muy engorroso. Resulta que las potencias de 2 tienen la interesante propiedad de que la suma de las n primeras potencias (desde la de exponente 0 hasta la de exponente n-1) es igual a la potencia enésima menos 1, es decir, que 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^(n-1) = 2^n - 1, la cual también aplicamos en el truco de magia anterior. De esta forma, de haber aceptado este trato en un mes de febrero de 28 días, habríamos pagado 2.684.354'55 € (2^28 - 1), o 5.368.709'11 € (2^29 - 1) en caso de ser año bisiesto. Obviamente, el timo dolería menos que en un mes de 31 días, pero igualmente nos quedaríamos con cara de tontos y con la cuenta corriente en números rojos.

Pues hasta aquí los dos ejemplos de la presencia de la potencia de 2 que os quería contar. Espero que ambos os hayan servido para apreciar que un número tan pequeño e inofensivo como el 2 puede llegar a ser muy poderoso cuando se multiplica por sí mismo varias veces, bien sea para iniciaros en la magia matemática o bien para no ser víctima de un timo que a priori no parece serlo. Más adelante veremos otros casos todavía más impactantes, algunos conocidos y otros no tanto, en los que las potencias de 2 tienen mucho que contar.

Nota: este post forma parte del Carnaval de Matemáticas,  que en esta octagésima sexta edición, también denominada X.6: "OAOA: Otros Algoritmos para las Operaciones Aritméticas", está organizado por Juan Francisco Hernández Rodríguez a través de su blog Esto no entra en el examen.