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martes, 24 de noviembre de 2020

Cuadrados en el cuadrado

Hace un par de cursos, en mi afán por divulgar las matemáticas a los alumnos y animarles a que profundicen un poco más en ellas si les pica la curiosidad, decidí dar de octubre a marzo una clase semanal en el recreo a los alumnos de 2º ESO que quisieran presentarse a la Olimpiada Matemática Thales, e igualmente de marzo a junio a los alumnos de 1º ESO para el Proyecto ESTALMAT, para trabajar problemas de ediciones anteriores de estas pruebas, ya que no son precisamente los que están acostumbrados a resolver cada día en la materia de Matemáticas. Sí, necesitan conocer las fracciones, las figuras geométricas, los porcentajes y el lenguaje algebraico, entre otras cosas, pero los problemas de la Olimpiada y de ESTALMAT requieren de algo más, principalmente de un cierto nivel de razonamiento y de abstracción, así como de saber dividir un problema en varias partes para resolverlas por separado y luego combinarlas. Por desgracia, todo esto se trabaja cada vez menos en nuestra materia (hay varios motivos que lo justifican), y es por eso que me animé a dar este paso con más o menos aceptación entre los alumnos de mi instituto.
El curso pasado, justamente cuando pretendía dar comienzo a estas clases preparatorias para los alumnos de 1º ESO, llegó la pandemia del coronavirus. Se cortaron las clases presenciales, la Olimpiada Matemática Thales de 2º ESO que se iba a celebrar el sábado 14 de marzo se aplazó en un primer momento para semanas después ser suspendida definitivamente, y la prueba de selección del Proyecto ESTALMAT se aplazó al mes de septiembre (a día de hoy se espera que se pueda realizar el próximo mes de enero). A pesar de todos estos inconvenientes, en junio me puse en contacto con algunos de mis alumnos de 1º ESO que estaban interesados en presentarse a la prueba para proponerles sustituir esas clases semanales presenciales en el recreo por clases semanales online durante los meses de junio y julio, a lo cual aceptaron gustosamente siete alumnos que vieron con buenos ojos hacer un poco de matemáticas de forma voluntaria e incluso ya de vacaciones.
La mecánica era muy simple: les daba un problema que debían resolver de manera individual (les decía que le dedicasen no más de media hora) en una plazo de una semana para posteriormente poner en común todas las soluciones en la siguiente clase online, tras la cual le proponía un nuevo problema para la siguiente semana, y así sucesivamente. Pues bien, Alejandro, uno de mis alumnos, encontró para uno de esos problemas una solución distinta a la mía e igualmente correcta, pero la suya me gustaba más; sin embargo, a pesar de la sencillez y elegancia de su solución, no lograba entender cómo había llegado a ella sabiendo yo lo que él sabía y había aprendido hasta entonces. Él mismo me reconoció que la respuesta la descubrió por pura casualidad, es decir, que no entendía por qué se podía resolver de esa forma, y yo tampoco, ya que me empeciné en pensar como él habría pensado, como un alumno de 12 años, hasta que finalmente se lo comenté a Alfonso, uno de mis compañeros de departamento, quien, con la mente un poco más abierta, me hizo ver por qué dicha solución funcionaba.
Se me ocurrió entonces que sería buena idea compartir con los amantes de las matemáticas este problema del que os hablo y sus posibles soluciones, tanto la que yo había encontrado en su momento como la que halló mi alumno Alejandro y que luego razonó y demostró mi compañero Alfonso. Así pues, empecemos desde el principio, es decir, con el enunciado del problema, que es el siguiente:
 
Tenemos un tablero cuadrado y en cada casilla anotamos un número siguiendo estas instrucciones: el número que escribimos es el menor de los números que indican la fila y la columna de la casilla. La figura que tienes a continuación te da un ejemplo en el caso de un tablero 3 x 3.
Tenemos un tablero cuadrado de 5 x 5 (25 casillas). ¿Cuál será la suma de todos los números una vez que hayamos rellenado todo el tablero con la condición que se ha indicado? Explica una manera de calcular la suma anterior sin necesidad de sumar uno a uno todos los números.
 
Como podéis comprobar, el problema no entraña demasiada dificultad, de hecho creo recordar que todos los alumnos lo resolvieron correctamente, salvo alguno que otro por un fallo de cálculo sin importancia, y de la misma forma que yo, concretamente la siguiente:
Del tablero se deduce que los números del 1 al 5 aparecen un número impar de veces, de tal manera que el 1 hay que sumarlo 9 veces (el quinto número impar); el 2, 7 veces (el cuarto número impar); el 3, 5 veces (el tercer número impar); el 4, 3 veces (el segundo número impar); y el 5, una vez (el primer número impar). Por lo tanto, el problema se reduce a emparejar los números del 1 al 5 con los 5 primeros números impares ordenados de mayor a menor para a continuación multiplicar cada pareja obtenida y finalmente sumar los resultados de dichos productos. Este razonamiento se puede aplicar a cualquier tablero cuadrado de tamaño N x N, pues la suma total sería la siguiente:
La sorpresa me llegó cuando mi alumno Alejandro resolvió este problema de dos formas. La primera era la que yo y el resto de compañeros habíamos seguido, mientras que la segunda, que daba el mismo resultado, era la siguiente:
Su solución era a primera vista más sencilla y elegante que la mía, pues consistía simplemente en sumar los cuadrados de los números del 1 al 5, pero no aportaba una explicación razonada de por qué se podía resolver así, y yo tampoco conseguía deducirla, no lograba encontrar una conexión entre esa suma de cuadrados y lo que pedía el problema, más allá de la coincidencia de que tanto los cálculos (desde el punto de vista numérico) como la forma del tablero (desde el punto de vista geométrico) estaban basados en cuadrados, y es que por algo comparten nombre (25 es 5 al cuadrado porque se pueden disponer 25 elementos en un cuadrado de 5 filas y 5 columnas).
Entre que a veces me cuesta encontrar una solución diferente a un problema cuando ya he encontrado una y que intentaba justificar la solución de mi alumno partiendo de los conocimientos que él tenía, no conseguí encontrar una explicación de por qué se podía resolver de esta forma, así que se lo comenté a Alfonso, uno de mis compañeros de departamento, a ver si él era capaz de dar con la tecla. Lo consiguió demostrar gracias a que supo mirar el tablero de una forma distinta a como yo lo hacía. En mi caso, yo separaba el tablero en partes compuestas de un único número, tal y como se puede observar en el tablero 5 x 5 que hay arriba, mientras que él lo separaba en partes como las que se muestran en el siguiente tablero 5 x 5:
Cada L invertida se compone de la sucesión ascendente y descendente de los números del 1 al N, de tal manera que todos los números aparecen dos veces, a excepción del número N, que solamente aparece una vez. Así pues, la suma desde el 1 hasta el 5 y luego hasta el 1 sería la siguiente:
Generalizando esta suma para cualquier valor de N se deduce fácilmente que siempre se obtiene el cuadrado del número N:
Con esta justificación algebraica se demuestra por lo tanto que la suma de todos los números de un tablero N x N es igual que la suma de los cuadrados de los N primeros números naturales, una solución que, bajo mi punto de vista, es al mismo tiempo elegante y curiosa teniendo en cuenta la forma tan simple con la que se rellenan las casillas del tablero.
Mi compañero Alfonso, no conforme con una demostración algebraica, también encontró una demostración geométrica de por qué esa suma ascendente y descendente desde 1 hasta N es igual al cuadrado de N, y para ello basta con observar el tablero de la siguiente manera:
Ahora conviene fijarse en que los números que componen cada L invertida indican cuántas casillas hay en su misma diagonal, considerando la diagonal que va desde cada número hacia arriba a la izquierda, por lo que la suma de todas las casillas es igual evidentemente al cuadrado del número mayor, en este caso, al cuadrado de 5; así pues, repitiendo este razonamiento para cada L invertida del tablero, se obtiene que la suma de los números de todas las casillas es igual que la suma de los cuadrados de los N primeros números naturales.
A raíz de esta demostración geométrica de mi compañero, caí en la cuenta de que también se puede demostrar que los números que componen cada L invertida es igual que el cuadrado del mayor número que aparece en dicha L, y es a partir de los números triangulares, tal y como se deduce de la siguiente imagen:
En esta ocasión, de nuevo tomando como ejemplo el caso de N = 5, observamos que el tablero se puede dividir en dos partes que son el cuarto (en rojo) y el quinto (en azul) número triangular, pues cada uno de ellos son, respectivamente, la suma desde el 1 hasta el 4 y la suma desde el 1 hasta el 5 (al igual que antes, cada número indica cuántas casillas hay en su misma diagonal), y la suma de dos números triangulares consecutivos siempre es igual a un cuadrado perfecto, tal y como se puede ver a continuación para el caso de N = 5 y para cualquier número N:
Por lo tanto, sea con una demostración o con otra, podemos concluir que la suma de todos los números de un tablero N x N cuyas casillas se han rellenado con el menor de los números que indican la fila y la columna de cada casilla es igual a la siguiente expresión:
Pues todo esto fue lo que dio de sí un problema sin aparente importancia que propuse a mis alumnos, pero que al final derivó en la solución que encontró por casualidad uno de ellos sin saber por qué se podía resolver así y, posteriormente, en la indagación de uno de mis compañeros de departamento hasta dar con dos demostraciones de dicha solución, y luego una tercera por mi parte. En fin, quien diga que las matemáticas son aburridas es porque no es capaz de admirar la belleza de curiosidades como éstas.

Nota: este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta nonagésima segunda edición, también denominada 11.6: Conjeturas, está organizado por Miguel Ángel Morales Medina a través de su blog Gaussianos.

viernes, 13 de noviembre de 2020

No es mío, pero es interesante (CXLIII)

Aquí tenemos una nueva entrega de 'No es mío, pero es interesante', una sección en la que os recomiendo las entradas de otros blogs y webs que más me han gustado en las últimas semanas. Para variar, tenemos un blog que acapara casi todas las recomendaciones, como es el caso de Microsiervos con diez posts. Lo que tampoco cambia es la variedad de contenidos, pues hay matemáticas, ciencia, astronomía, curiosidades, vídeos, etc.
Echémosle un vistazo a la lista de enlaces de esta entrega:
¿Qué os han parecido las recomendaciones de esta entrega? Espero que os hayan gustado y que me lo hagáis saber a través de un comentario ;)

lunes, 2 de noviembre de 2020

Viaje a Brighton: día 2

Viernes, 10 de agosto de 2018

7:30
El despertador de mi móvil sonó a la hora a la que lo había programado, pero decidí aguantar media hora más en la cama, así que terminé levantándome a las 8:00. Me duché y me vestí con ropa informal para a eso de las nueve menos cuarto bajar al sótano del hostal, donde se encuentra la sala en la que se sirve el desayuno. En cuanto me senté, una mujer se acercó para preguntarme qué quería tomar, a lo que le dije que unas tostadas y un chocolate a temperatura ambiente; además, también cogí algunas piezas de bollería del bufé y mantequilla para untar en las tostadas.
Volví a la habitación para hacer tiempo viendo la tele antes de vestirme de nuevo, esta vez de traje para asistir a la boda de mi amigo Pepe y su novio Tom. Salí del hostal a las 11:00 para dirigirme al hotel The Grand Brighton, desde donde saldría el autobús que llevaría a parte de los invitados al lugar en el que se celebraría la boda. Mientras esperaba a que Marisa bajase de su habitación, saludé a algunos de los amigos de Pepe que había logrado identificar de las fotos de su despedida de soltero en Toulouse (yo no pude ir), de tal manera que a las once y media, ya con Marisa, empezamos a embarcar en el autobús, uno típico inglés de dos pisos.

Salimos de allí a las 11:40 para dirigirnos en mitad de la lluvia que estaba cayendo al Jurys Inn Brighton, otro hotel en el que había más invitados que recoger, y luego definitivamente a Pangdean Old Barn, un granero situado a las afueras de Brighton que está acondicionado para celebrar bodas. Cuando llegamos estaba chispeando, así que nos resguardamos con el resto de invitados en la sala cubierta, en la que ya se encontraban otros muchos invitados, principalmente los familiares y amigos de Tom, algunos de los cuales ya conocía de cuando vinieron unos meses antes a conocer Málaga.
Minutos antes de la una nos avisaron para ir acomodándonos en la sala donde se celebraría la ceremonia; en realidad, estaba previsto que fuese en los jardines, pero seguía lloviendo y no tenía pinta de que fuese a escampar. La boda empezó a la hora prevista y fue oficiada en inglés y puntualmente en español, pero Carmona, uno de los amigos de Pepe, fue el encargado de traducir al idioma correspondiente todo lo que se iba diciendo para que todos los invitados pudieran seguir el acto, que por cierto fue bastante emotivo, especialmente cuando los novios se dedicaron unas palabras antes de intercambiarse los anillos.


13:35
Una vez finalizada la ceremonia, los invitados pasamos a la sala cubierta para charlar y conocernos un poco mientras los camareros nos iban pasando varias bandejas de canapés y sirviendo diversas bebidas. Allí tuve la oportunidad de reencontrarme con algunos amigos de Pepe a los que ya conocía de cuando fui a visitarle a Madrid en su último año de carrera y a otra amiga con la que coincidimos en el viaje que hicimos a Roma, pero también pude conocer a otros amigos, algunos de ellos de Málaga, es más, resulta que, hablando de una cosa y de otra, una de ellas fue alumna de una vecina de mi bloque. Lo pequeño que es el mundo.
Como fuera seguía lloviendo, los novios se hicieron fotos con los invitados en la sala en la que se acababa de oficiar la boda. Primero me hice unas fotos junto con los amigos de Pepe con los que estaba hablando, y luego también con la familia de Pepe, puesto que conozco a sus padres desde que empezamos a ser amigos allá por la ESO, y también a su hermano Miguel, a quien he llegado a dar clases particulares para que aprendiese matemáticas de un nivel superior al del curso en el que se encontraba, y a su hermana Carmen, quien aprovechó para presentarme a su novio, que además había sido compañero de colegio de mi amigo Isra. Lo dicho, que el mundo es un pañuelo.

A las tres de la tarde, nos fueron avisando para que fuésemos tomando asiento para el banquete. La distribución de los invitados en las mesas fue bastante particular, puesto que, en vez de un número, habían asignado a cada mesa el nombre de una ciudad a la que Pepe y Tom habían viajado, de tal manera que, en la medida de lo posible, en cada mesa había invitados más o menos afines. Como era de esperar, mi amiga Marisa y yo caímos en la misma mesa, en la cual coincidimos con compañeros de trabajo de Pepe, algunos de ellos españoles, como la chica de Valencia que estaba sentada a mi derecha, y otros extranjeros, por lo que, evidentemente, el idioma de conversación entre todos nosotros fue el inglés.
Tras la bebida, en mi caso Coca-Cola y agua, nos sirvieron el plato principal que habíamos elegido previamente cuando Pepe nos envió las invitaciones de la boda. Yo me decanté por el muslo de pato confitado, mientras que las otras opciones eran el tocino de cerdo asado, que fue lo que comió Marisa, y el Wellington vegetariano. La verdad es que el muslo de pato estaba bastante bueno y jugoso, así que acerté con mi elección, pero tampoco me hubiera equivocado con el tocino de cerdo, ya que Marisa me dejó probar un poco y me gustó. Finalmente, el postre fue una panna cotta de vainilla servida con frutas de verano y un coulis de frambuesa que estaba delicioso.

 
17:15
Una vez que habíamos terminado de comer, comenzaron los discursos que pronunciaron tanto Pepe y Tom como algunos de sus familiares y amigos, en los cuales se combinaron momentos con una gran carga sentimental que hicieron saltar alguna que otra lágrima a más de uno y otros más divertidos y jocosos relativos a anécdotas y vivencias graciosas de los novios. Al igual que en la ceremonia, Carmona se encargó de traducir al inglés y al español, según el caso, las palabras que se iban pronunciando para que todo el mundo las entendiera y, de paso, llorase o se riese por partida doble.
Seguimos un rato más sentados en las mesas para que nos sirvieran café, té y licores, tras lo cual abrió el bar para empezar a servir copas y bebidas. Fuera ya había escampado e incluso hacía un poco de sol, por lo que muchos de los invitados aprovechamos para salir y pasear por los jardines donde se hubiera celebrado la boda de no haber estado lloviendo, que además contaban con columpios y juguetes, así como la posibilidad de jugar al croquet y de montar en pequeños karts, lo cual hizo las delicias de los niños y no tan niños.

De nuevo en el edificio del Pangdean Old Barn, me enteré por el móvil de que había salido la resolución definitiva de los destinos provisionales para el curso 18/19, y en mi caso repetiría en el mismo instituto en el que había trabajado ese curso, el IES Jarifa, pero esta vez con plaza no bilingüe, lo cual agradecí, puesto que para lo que sirve y para todo el trabajo que conlleva no merece la pena. En esto, la sala en la que se había celebrado tanto la boda como el banquete se había convertido en una sala de discoteca que, obviamente, inauguraron Pepe y Tom con su primer baile como recién casados.
La música elegida no estuvo nada mal, y quiero recordar que, a pesar de que la boda se celebró en Inglaterra, hubo más canciones en español que en inglés, incluidos los grandes éxitos de toda gran celebración que se precie para que todo el mundo baile, incluido yo, que ya es mucho decir, aunque solo lo justo y necesario para cumplir con el expediente. Me vino bien que pusieran una mesa con la post-cena, compuesta principalmente por tablas de quesos, para librarme por momentos del bailoteo, con la excusa además de que tenía un poco de hambre. De lo que no me iba a librar por nada del mundo era de felicitar personalmente a Pepe por su enlace con Tom, pues por algo es el amigo más antiguo que conservo, y por lo bien organizado que estaba todo, y es que de momento ha sido la boda en la que mejor me lo he pasado.

 
21:30
Cansado ya un poco de la música, me salí de la pista de baile para irme a una de las salas para charlar con algunos de los invitados, principalmente con los familiares de Pepe, a quienes, como ya he comentado antes, conozco desde hace muchos años y por ello nos tenemos mucho aprecio. El primer autobús para llevar a los invitados de vuelta a Brighton salía a las diez de la noche, y mi amiga Marisa fue una de las que optó por irse ya, pero yo me decanté por seguir allí, así que ya me reuniría con ella al día siguiente para hacer una ruta de senderismo por los Seven Sisters, tal y como habíamos planeado.
Volví a la pista de baile para 'moverme' un poquito y estar un rato con los amigos de Pepe, y de paso para seguir degustando de las tablas de quesos de la recena. Eran casi las once de la noche cuando Marisa me avisó por WhatsApp para decirme que una amiga de Londres le había escrito para que fuese a visitarle al día siguiente, por lo que se cancelaba la visita a los acantilados. Justo entonces, algunos de los amigos de Pepe pusieron el punto y final de la celebración con un manteo a los recién casados, tras lo cual nos despedimos de Pepe y Tom y nos subimos al autobús que salía a las 23:15 para regresar a Brighton.
El autobús nos dejó en el hotel The Grand Brighton, y, antes de separarnos, le comenté a los amigos de Pepe que contasen conmigo para pasar el siguiente día con ellos. Al llegar a mi hostal, a eso de las 23:50, lo primero que hice fue quitarme el traje y los zapatos, que no es precisamente la vestimenta con la que me siento más cómodo, y tras ello hice el check-in online del vuelo de regreso a Málaga para tener el billete en el móvil. Al final, entre una cosa y otra y poner el despertador del móvil para levantarme a las ocho, me acosté definitivamente a la una de la madrugada, terminando de esta forma un día para el recuerdo.