¿Errores graves en las matemáticas?

Hace un par de semanas, Sixto, mi profesor de beca en el departamento de Matemática Aplicada, me pasó una noticia del periódico 'El Mundo' del 28 de marzo de 2010, en la que se publica una entrevista al decano de la Escuela de Ingeniería de la Universidad de León, Ángel Alonso, quien, junto con su grupo de investigación especializado en Ingeniería del Conocimiento, asegura que ha detectado errores graves en las matemáticas. Una vez que leáis dicha entrevista completa aquí, continuad con las líneas de esta entrada.

A continuación, voy a exponer mi crítica personal a las afirmaciones de este señor. He de advertir que yo no soy matemático y, por consiguiente, de matemáticas no sé nada prácticamente, solamente lo que he estudiado en el colegio, en algunas asignaturas de mi carrera (Ingeniería Informática) y lo que he llegado a entender en los muchos libros que me he leído sobre ellas, por lo que, si en las siguientes líneas, afirmo o defiendo alguna barbaridad relacionada con las matemáticas, os ruego que me disculpéis (y agradecería enormemente que me corrigierais).
Mi crítica va a ser similar estructuralmente a la primera parte de la publiqué hace unos días a Belén Esteban, es decir, extraeré algunos fragmentos de la entrevista a Ángel Alonso para exponer mi crítica y opinión. Antes de empezar, hay que aclarar la postura de este señor, que, por lo que se deduce de sus palabras, defiende el finitismo, el cual afirma que un objeto matemático no existe si no se puede llegar a él en un número finito de pasos partiendo de los números naturales, por lo que niega el concepto de infinito. Esta filosofía de la matemática es considerada una forma extrema del constructivismo.

Y ahora sí, pasemos a destripar la entrevista.

"Los matemáticos aceptan que la matemática continua no es computable. Nosotros también, pero ellos dicen que existe y nosotros decimos que la única forma para que exista es que quien la ejecute no pueda tener limitaciones ni espaciales ni temporales: dios."

Todos estamos de acuerdo con la primera afirmación, ya que es imposible hacer computable el infinito, más que nada porque nuestras herramientas son finitas y siempre lo serán, pero esto no es óbice ni excusa para decir que la matemática continua no existe. No podemos usarla como tal por nuestras propias limitaciones espaciales y temporales, las que no encuentra ese ser llamado Dios, sin embargo eso no implica que no pueda existir.

Para seguir argumentando, conviene que enlacemos con el siguiente comentario del decano.

"La matemática continua funciona cuando se deteriora o se usa como discreta. Se formula como continua pero se usa como discreta. Y nosotros decimos, ¿para qué vamos a formular en continuo lo que es discreto?"

No es que la matemática continua se deteriore por usarla como discreta, es que no tenemos otro remedio. En la teoría, trabajar con formulación continua es indispensable, porque es más exacto y fiable, pero en la práctica, al disponer únicamente de medios finitos, tenemos que discretizar esa continuidad para conseguir resultados que se asemejen lo mejor posible a lo que se obtiene con la teoría continua. Cada día, gracias a la evolución de la computación, dichos resultados son cada vez más exactos, aunque nunca llegaremos a la total exactitud porque siempre habrá una mínima discretización; sin embargo, si tuviéramos los medios para pasar de la teoría continua a la práctica continua sin discretizar entre medias, sin duda optaríamos por este camino.

Ahora, pasamos a una intervención de Ángel Alonso en la que ejemplifica su punto de vista.

"La matemática continua dice que el radio de una circunferencia es constante: nadie puede construir un radio constante de una circunferencia, nadie. La gente lo que confunde es que si la pintas con un compás, como el ojo humano tiene limitado poder de resolución, pues parece continuo, pero si lo miras a través de un microscopio enseguida te das cuenta de que no es continuo."

Aquí se reafirma lo que he dicho antes: la matemática continua, en la teoría, da una definición de circunferencia, pero, al pasar a la práctica, es imposible trazar una circunferencia continua y perfecta. En este punto, estamos todos de acuerdo, pero es aquí donde el decano llega a su primera contradicción: mirar a través de un microscopio es lo mismo que adentrarse entre dos objetos matemáticos discretos consecutivos (por ejemplo, los números 1 y 2) y comprobar que hay algo entre medias. Este algo no es más que la infinita cantidad de números reales (la matemática continua) que están acotados por arriba y por abajo (el 1 y el 2), al igual que hace un microscopio cuando se va acercando cada vez más y más, que nos descubre que siempre podríamos estar adentrándonos si pudiéramos y que nunca acabaríamos.

Centrémonos ahora con el principal concepto de discusión: el infinito.

"Meter en la cabeza de un niño la idea de infinito es una barbaridad."

Hombre, quizás para un niño es demasiado complicado asimilar y entender el concepto de infinito, y hasta para los adultos puede llegar a serlo también, pero sabemos lo que es y lo que representa. Es imposible imaginar el infinito, pero existe y no existe, aunque parezca una contradicción, y me explico. Existe porque, como he comentado en líneas anteriores, entre dos números cualesquiera hay infinitos números, y se puede demostrar que es así. No existe porque, como el infinito es sólo una representación de un número extremadamente grande, ese número nunca deja de crecer. Suponiendo únicamente los números naturales, ¿dónde está el infinito? En pocas palabras, lo más alejado por la derecha, pero esa lejanía se hace cada vez más lejana, por lo que nunca podremos decir: esto es el infinito.

Por último, tanto el decano como su grupo de investigación creen poder encontrar una solución.

"La alternativa a los números reales pasa, inexorablemente por introducir un nuevo concepto de números, que hemos denominado números de valor múltiple o multivalor. Es la abolición de la matemática continua. Si pensáramos que la matemática continua no es válida pero no es dañina nos daría igual, pero creemos que está haciendo daño y que en las aulas crea una violencia extrema: tratar de imponer conceptos que nosotros consideramos imposibles nos parece muy grave."

Yo no sé si la solución que proponen, y que todavía tienen que definir, podría llegar a ser válida o no; como dije al principio, no estoy capacitado para entrar en tanta profundidad, pero me da que no van a conseguir su objetivo, que no es otro que destruir la matemática continua, a la que acusan de ser dañina y de generar violencia en las aulas por imponer conceptos imposibles. Ya hemos dejado claro que conceptos como el infinito son inabarcables, pero se puede y se debe trabajar con ellos para conseguir resultados fiables; para nada hacen daño, sino todo lo contrario, porque gracias a la matemática continua tenemos lo que tenemos. Sin ella, no podríamos construir edificios, disponer de toda la tecnología actual (ordenadores, teléfonos...), viajar al espacio, etc. En resumen: la matemática continua, a pesar de su imperfección y de sus limitaciones prácticas, funciona.
Ya de forma general, sin centrarme en una cita en concreto de la entrevista, pienso que Ángel Alonso se ha metido en un terreno que no es el suyo. No digo que no pueda criticar lo que critica, que está en su derecho, pero creo que él precisamente no es el más indicado y apto para decir lo que dice sobre las matemáticas, porque los matemáticos están mucho más preparados que él para debatir sobre tan delicado tema, y, por sus palabras, me da la impresión de que se quiere echar flores a sí mismo. No digo que no tenga razón, que a lo mejor la tiene, pero me reportaría más confianza que lo hubiera dicho un experto en Matemáticas que un doctor en Ingeniería de Telecomunicaciones.
Además, parece que es él mismo el que se contradice con sus afirmaciones. Para empezar, niega la existencia del infinito y de la matemática continua, pero defiende a la matemática discreta. Pues bien, resulta que ésta se encarga de estudiar los conjuntos finitos o infinitos numerables, como, por ejemplo, los números naturales y enteros. ¡Vaya! La matemática discreta hace uso del término 'infinito'. ¿Gran contradicción, no? Si negamos al infinito, no podríamos contar, sólo podríamos tener un número y de ahí no podríamos salir, porque, si no, nos cargamos de golpe y porrazo el principio de inducción matemática, el cual hace uso de los naturales y enteros para demostrar que infinitos números cumplen una determinada propiedad.
Ángel Alonso puede afirmar que no podemos llegar a entender o alcanzar el infinito, que es cierto, pero no puede negar que no exista. Que no vayamos a usar cifras astronómicamente enormes (que es lo que, a mi entender, representa el infinito), no quiere decir que no exista, porque, como dice la citada inducción matemática, si tenemos el natural 'n', también tenemos el natural 'n + 1'.
En fin, lo que más me ha sorprendido de todo es que sea una persona de ciencias la que haya defendido esta postura, sobre todo teniendo en cuenta que a la vista está que el foco de sus críticas, la matemática continua, se aplica todos los días y funciona, aunque para ello sea necesaria su discretización. De nuevo, pido disculpas si he metido la pata con algunas de mis críticas.

Nota: este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta cuarta edición está organizado por Carlos a través de su blog Zurditorium.