Nieve matemática

¿Quién dice que las Matemáticas no tienen nada que ver con la Navidad? Así de primeras, se me ocurre que sin saber sumar no podríamos calcular el dinero que nos hemos gastado en regalos (¡Ah, no! Si el dinero se lo gastan los Reyes Magos, que son ricos) o que sin saber restar no podríamos contar los kilos que hemos engordado comiendo turrón y polvorones. Estos dos ejemplos son muy evidentes, pero yo os voy a mostrar otro un poco más complejo y que seguramente no conoceréis: el copo de nieve de Koch.

La nieve no puede faltar en Navidad (salvo si vives en Málaga, que aquí no nieva nunca), pero ¿qué forma tienen los copos de nieve? Se dice que no existen dos copos iguales, pero la gran mayoría son muy parecidos. Pues bien, algunos de ellos se asemejan a los copos de nieve de Koch, una figura geométrica que está basada en los fractales y que podemos observar en la imagen adjunta. Si os fijáis bien, los bordes están llenos de recovecos y esquinitas diminutos que, a primera vista, puede dar la impresión de que es muy difícil de dibujar, o imposible dirían muchos. A mano alzada y con la ayuda de una regla y un compás, se puede conseguir una buena aproximación, pero un ordenador lo haría mucho mejor, eso sí, nunca terminaría de dibujar este copo de nieve, puesto que la única forma de obtenerlo es tras un proceso infinito, el cual paso a describiros.
Partimos de la base de un triángulo equilátero. En la primera iteración, dividimos cada lado del triángulo en tres segmentos iguales; el que está en medio se elimina y en su lugar añadimos dos segmentos cuya longitud sea igual que la del que acabamos de suprimir para formar un nuevo triángulo equilátero. Si hacemos esto para los tres lados del triángulo original, obtendremos una figura que nos recordará a la Estrella de David; así pues, la nueva figura consta de doce lados de igual longitud. En la segunda iteración, operamos de igual forma para cada uno de los doce lados, es decir, los dividimos en tres partes iguales y la central la sustituimos por dos segmentos que midan un tercio de la longitud de dicho lado para construir un nuevo triángulo equilátero más pequeño. La figura que obtenemos se compone de 48 lados, tal y como se aprecia en la imagen de abajo. En la tercera iteración, volveríamos a repetir el proceso anterior; y en la cuarta, y en la quinta, y en la sexta...

Y así, hasta el infinito. Lógicamente, no podemos llegar a este punto, pero la figura final será muy parecida a la última de la imagen que se muestra sobre estas líneas. Lo más sorprendente del copo de nieve de Koch no es la manera en la que se construye, sino un par de propiedades que lo caracterizan y que resultan paradójicas para el poco ducho en matemáticas: su perímetro es infinito, pero su área no. ¿Cómo es posible? La respuesta necesita de conocimientos sobre límites de funciones, series geométricas y demás, pero, como sé que a muchos de vosotros eso os suena a chino, voy a intentar demostraros ambas propiedades de la forma más intuitiva posible.
Como sabréis, un triángulo equilátero tiene sus tres lados iguales. Nosotros, para simplificar los cálculos, vamos a suponer que el lado L mide una unidad (centímetros, metros, kilómetros... da lo mismo), es decir, L = 1, por lo que el perímetro del triángulo original será 3*L = 3. En la primera iteración, cada lado se divide en tres segmentos iguales de longitud (1/3)*L y se sustituye por cuatro de dicha longitud, o sea, que 4*(1/3)*L = (4/3)*L = 4/3 es la nueva longitud del lado que acabamos de modificar y (4/3)*3 = 4 el perímetro de la nueva figura, la Estrella de David, cuyos lados miden ahora 1/3. En la segunda iteración, cada lado se divide en tres segmentos de longitud 1/9 y se reemplaza por cuatro de esta longitud, esto es, 4*(1/9)*L = (4/9)*L = 4/9 será la nueva longitud del lado que hemos deformado, y como esto lo hacemos con los doce lados de la figura, pues resulta que el nuevo perímetro es de (4/9)*12 = 48/9 = 16/3 unidades.
En realidad, lo que estamos haciendo es multiplicar en cada iteración el perímetro original por el factor 4/3, puesto que en cada lado que dividimos en tres partes colocamos cuatro. Si os dais cuenta, si multiplicamos el perímetro inicial (3 unidades) por este factor, nos queda que el perímetro de la figura de la primera iteración es 4, como hemos calculado antes, y, si este perímetro lo volvemos a multiplicar por 4/3, conseguimos el perímetro que hemos obtenido en la segunda iteración, es decir, 16/3 unidades. ¿Cuál será el perímetro en la décima iteración? Pues basta multiplicar diez veces el factor 4/3 al perímetro original. Como este factor es mayor que 1, el perímetro se irá incrementando en cada iteración, por lo que así se demuestra que el perímetro del copo de nieve de Koch es infinito.
El área es un poco más complicado de obtener y de demostrar que el perímetro, pero voy a intentar que lo entendáis. El triángulo inicial se compone de nueve triángulos que tienen el mismo tamaño que los tres que se añaden en la primera iteración, es decir, el nuevo área se un tercio mayor que el inicial. Cada uno de estos pequeños triángulos también se puede dividir en nueve aún más pequeños, por lo que la Estrella de David estaría formada por 108 triangulitos, los cuales son idénticos a los que se añaden en la segunda iteración, que son doce en total; dicho de otra forma, el área de la primera iteración se ha incrementado en 12/108 = 1/9 unidades. En la tercera iteración, el área se incrementaría en 2/45 unidades; en la cuarta...
En resumen, en cada iteración, la proporción de área que se incluye es cada vez menor (1/3, 1/9, 2/45...); esto se puede expresar más fácilmente con una serie geométrica que resulta ser convergente, ya que estos factores van decreciendo y además son menores que uno (en realidad, éste no es el motivo exacto matemáticamente hablando, pero más o menos es así). Finalmente, resulta que el área del copo de nieve de Koch tras infinitas iteraciones es igual a 8/5 veces el área original, es decir, que si el área del triángulo inicial era de 10 unidades cuadradas, el área del copo de nieve resultante será de 16 unidades cuadradas. Una manera muy sencilla de demostrar que el área es finita, pero sin calcular su valor final, es dándose cuenta de que el copo de nieve de Koch está inscrito en una circunferencia de radio 2/3 la altura del triángulo inicial, o sea, la que pasa por las tres puntas de dicho triángulo.
En fin, acabáis de comprobar que, aunque vaya en contra de vuestra intuición, un perímetro infinito puede delimitar un área finita. Muy fuerte, ¿eh? Espero que no os hayáis vuelto locos tras leer mi extensa disertación sobre el copo de nieve de Koch y que, a partir de ahora, cada vez que os encontréis en mitad de una nevada, veáis que son matemáticas lo que cae del cielo.
Y, aprovechando las fechas en las que estamos y que aquí hemos hablado de fractales, os deseo unas Felices Fiestas y un próspero Año Nuevo con un árbol de Navidad muy matemático: el triángulo de Sierpinski.

Nota: este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta novena edición está organizado por Trébede a través de su blog Rescoldos en la trébede.