El dólar tetraédrico

Lo prometido es deuda. En una de mis anteriores aportaciones al Carnaval de Matemáticas, recordaréis que os relaté la charla divulgativa que impartió Luis Balbuena Castellano en el Centro de Ciencia Principia, y dicha charla la comenzó con un pequeño experimento que os dije que seguramente os explicaría más detenidamente pasadas unas semanas. Pues bien, hoy es ese día, así que atentos y tomad buena nota que esto os va a gustar.
Los dólares estadounidenses guardan en su interior y de una forma muy sutil una pequeña sorpresa matemática que muy pocos conocerán: con ellos se puede construir un tetraedro perfecto. ¿Cómo es posible? Esto se debe a que el rectángulo de estos billetes tiene unas proporciones muy particulares que coinciden con las que tiene el desarrollo plano de un tetraedro, pero esto lo dejaremos para más adelante porque antes es mejor hacer paso a paso esta construcción geométrica.

El único material que vamos a necesitar es un dólar estadounidense. Probablemente la mayoría de vosotros no tendrá ninguno en casa, salvo que os haya sobrado alguno de algún viaje al país de las barras y las estrellas, así que basta con que busquéis uno por Internet y lo imprimáis con un tamaño considerable para que la manipulación sea más sencilla. Por cierto, no importa si el billete es de 1 dólar, o de 10 o de 50, ya que todos tienen la misma forma y, por lo tanto, todos son igualmente válidos para nuestro experimento. Yo voy a usar uno de 100 dólares que he imprimido para explicaros con la ayuda de algunas imágenes el procedimiento a seguir.

En primer lugar, doblad el billete por la mitad en paralelo al lado mayor del billete.

A continuación, dadle la vuelta al billete y llevad la esquina inferior izquierda al doblez central para formar un triángulo rectángulo cuyo cateto mayor sea el borde izquierdo del billete, tal y como se observa en la imagen superior.

Después, doblad el billete por el otro cateto para así obtener un triángulo equilátero.

Luego, haced un nuevo doblez sobre el lado derecho de dicho triángulo para obtener otro igual.

Seguidamente, doblad el triángulo rectángulo que sobra sobre el triángulo equilátero.
Por último, desplegad el billete y comprobad que con él podéis construir un tetraedro.

Si deshacemos todos los dobleces realizados y 'planchamos' de nuevo el billete, comprobaremos que éste se encuentra dividido en tres triángulos equiláteros y dos triángulos rectángulos que si se unieran formarían un cuarto triángulo equilátero, es decir, hemos conseguido el desarrollo plano de un tetraedro. Pero, ¿por qué sucede esto? La clave está en el segundo paso que os he descrito. Si os fijáis bien, en dicho paso hemos obtenido un triángulo rectángulo muy particular, ya que el cateto mayor tiene exactamente el doble de longitud que el cateto menor, por lo que los ángulos agudos de este triángulo miden 30 y 60 grados. Ésta es la razón por la cual hemos obtenido triángulos equiláteros en los pasos posteriores.
Lo único que nos queda por determinar en este experimento es la proporción que deben tener los lados del billete para que con él se pueda construir un tetraedro. Si le echáis un vistazo al billete, comprobaréis que su lado mayor es igual a la suma de dos lados de un triángulo equilátero, mientras que su lado menor coincide con la altura de éste. El valor de la altura puede ser expresado en función del lado del triángulo aplicando conceptos trigonométricos, como por ejemplo el del seno de 60º, lo que nos lleva a la conclusión de que la altura es igual a raíz(3)/2 veces el lado del triángulo. Así pues, si dividimos las longitudes del lado mayor y del lado menor del rectángulo obtenemos la proporción 4/raíz(3), que aproximadamente es igual a 2'31.
¿Qué conclusión podemos sacar de este experimento? Pues que los estadounidenses tuvieron mucha imaginación a la hora de diseñar los billetes de dólares. No estaría nada mal que los nuevos billetes de euros que está previsto que salgan a la circulación en los próximos años tuvieran también este curioso toque matemático, ¿o no?

Nota: este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta trigesimosegunda edición, también denominada 4.12, está organizado por el blog High Ability Dimension.