lunes, 19 de diciembre de 2011

¡Horizonte a la vista!

Parafraseo a Rodrigo de Triana, el primer español en avistar tierras americanas en el año 1492, para titular esta entrada en la que, a través de una serie de sencillos cálculos, descubriremos a qué distancia se encuentra esa lejana línea que separa el cielo y la tierra y que llamamos horizonte.
Antes de empezar, os planteo la siguiente pregunta: suponiendo que estemos al nivel del mar, por ejemplo en una playa, ¿a qué distancia creéis que se halla ese límite entre el azul del agua y el del cielo? ¿2 kilómetros? ¿10? ¿20 quizás? Bueno, depende de varios factores, pero se puede calcular muy fácilmente y de una forma muy aproximada utilizando sólo herramientas y conocimientos matemáticos que todos hemos estudiado más de una vez en Secundaria; de hecho, todo se reduce a saber plasmar en papel la situación que os he descrito y a recordar un famoso teorema. Fijáos en la imagen que acompaña a estas líneas. En ella, vemos una persona (fruto de mis dotes gráficas) de pie sobre nuestro planeta, algunos valores conocidos (la altura 'a' de la persona y el radio 'r' de La Tierra) y una incógnita (la distancia 'h' que separa a la persona del horizonte). El dibujo no es del todo exacto, empezando por el tamaño de la persona, que obviamente no está a escala, pero lo importante es darse cuenta de un detalle crucial: los segmentos 'r' y 'h' forman un ángulo de 90º, por lo que tenemos un triángulo rectángulo.
¿Qué quiere decir esto? Que podemos usar el Teorema de Pitágoras. Sí, ése que decía que "el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Pues bien, en este problema nuestra incógnita es uno de los catetos, por lo que para conocer su valor tendremos que calcular la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el del otro cateto y luego hacer la raíz cuadrada del resultado obtenido; no obstante, operando un poco se puede evitar el tener que calcular el cuadrado de dos números, quedando la siguiente fórmula:
El cateto 'r' mide 6.371.000 metros (el radio medio del planeta), mientras que 'a', como soy yo el que escribe, consideraremos que equivale a 1'9 metros, que es aproximadamente mi altura. Cogemos la calculadora y obtenemos 4.920 metros, o lo que es lo mismo, 4'92 kilómetros, es decir, que yo puedo ver el mundo en un radio de casi 5 kilómetros a la redonda. Bueno, esto no es del todo exacto, pues no estamos considerando uno de los factores que antes citaba: la refracción. Debido a la existencia de la atmósfera, los rayos de sol se curvan, lo cual provoca que la distancia que hemos calculado no sea la verdadera, sino más pequeña que la real, pero nosotros vamos a obviar todos los fenómenos ajenos a la geometría para que todo se entienda mejor.
Ya hemos visto que la distancia a la que se encuentra el horizonte depende, como es lógico, de la altura de la persona, puesto que un niño lo verá más cerca que yo, mientras que un pívot de baloncesto lo verá algo más lejos. También puede darse el caso de que lleguemos a divisar cosas que están aún más lejos de nuestro horizonte, como por ejemplo las nubes o las montañas, ya que estás sobresaldrían por encima de esa línea imaginaria al estar a una mayor altura. Y ya que estamos hablando de alturas, ¿a qué distancia se encontraría el horizonte si nos alejamos del centro de La Tierra? Vamos a comprobarlo con algunos ejemplos que todos conocemos:
  • Desde la azotea de la Torre Eiffel, que está a 300 metros de altura, se ve el horizonte a 61'83 kilómetros.
  • Desde lo más alto del Burj Khalifa, el rascacielos más alto del mundo con 828 metros, el horizonte estaría a 102'72 kilómetros.
  • Si ascendiésemos al Puerto de Navacerrada en la Sierra de Guadarrama, a 1.858 metros de altitud, veríamos todo aquéllo que se encuentra a 153'88 kilómetros. De hecho, desde allí se puede ver la Cordillera Cantábrica gracias a que ésta también tiene una considerable altura, como podéis apreciar aquí.
  • Si escalásemos el Teide, que mide 3.718 metros, ya tendríamos el horizonte a más de 200 kilómetros, concretamente a 217'69.
  • En el Everest, el punto más alto del planeta (¿o no?) con 8.848 metros, el horizonte se encontraría ya a 335'89 kilómetros.
  • Y ya por último, consideramos la altura a la que suele volar un avión comercial, unos 10.000 metros, lo cual quiere decir que, si nos asomamos a la ventanilla, veríamos la parte del planeta que está a menos de 357 kilómetros de distancia.
Impresionante, ¿verdad? De todas formas, ya os he dicho que estos datos no son del todo reales. Influyen, y mucho, la atmósfera y las condiciones climatológicas, las cuales nos permitirán disfrutar de un horizonte notablemente más lejano o, por el contrario, tener que conformarnos con un poco menos, y si no que se lo digan a los de Gibraltar, que hay días que pueden ver África y días que no. En cualquier caso, lo que pretendía con esta entrada era haceros ver, y nunca mejor dicho, que hay ciertas curiosidades y preguntas que nos hacemos casi a diario y que muchas veces pueden ser resueltas con la ayuda de las matemáticas.

Nota: este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta decimonovena edición, también denominada 2.9, está organizado por Elisa Benítez a través de su blog Que no te aburran las M@TES.

9 comentarios:

Migue dijo...

Muy buen post, me ha encantado. Yo soy uno de los que desde su ventana alcanza a ver Gibraltar y África, unos días sí y otros no.

Miguel dijo...

Lo de la cordillera cantábrica me ha dejado impresionante jaja . Buena entrada.


Saludos!!! :)

Rafalillo dijo...

Migue: me alegro de que te haya gustado :D
A mí me gustaría ver África desde nuestra costa. A ver si algún día me paso por Marbella ;)

Miguel: a mí también me impresionó mucho. Gracias, me alegro de que te guste ;)

Gracias a los dos por los comentarios ;)

Andrés dijo...

Pues es un post muy curioso, nunca me había hecho esta pregunta.

Supongo que otro de los factores que alterarán los resultados, es que la Tierra no es un círculo perfecto ¿no? Dicen que la Tierra tiene forma de pera, que el hemisferio sur es más pequeño, y aparte está achatada por los polos.

Pero vamos, un cálculo muy curioso, me ha recordado a aquello de cuánto medía el campo de fútbol de Oliver y Benji, o cuánto medían las cuerdas del columpio de Heidi.

Saludetes.

Rafalillo dijo...

Seguro que te has hecho esa pregunta muchas veces. Yo creo que es una de ésas que todos nos hacemos alguna vez en la vida.

Bueno, La Tierra no puede ser un círculo, sino una esfera en todo caso. Correcto, es deforme y está achatada por los polos, pero para simplificar los cálculos se asume que es perfectamente esférica.

Los cálculos de 'Oliver y Benji' y 'Heidi' están basados en lo mismo que aplico yo, además de otras cosas. Hay que reconocer que los resultados que se obtienen son impresionantes; yo no paré de reírme :D

Saludos ;)

Andrés dijo...

Perdón, me he dado cuenta que escribí "el hemisferio sur es más pequeño", y quería decir lo contrario, que es más grande.

Rafalillo dijo...

Si te soy sincero, no sé cuál de los dos hemisferios es más grande. De todas formas, lo que te dije en el otro comentario: aquí hay que considerar que el radio de La Tierra es el mismo en cualquier punto.

Saludos ;)

Elisa dijo...

Te he votado como mejor entrada del carnaval 2.9, me ha parecido sencilla y muy buena para utilizar en clase con mis alumnos.

Saludos

Elisa

Rafalillo dijo...

Gracias por tu voto :D

Me hace mucha ilusión, sobre todo teniendo en cuenta la gran calidad de las entradas de otros participantes de la talla de Tito Eliatron, Gaussianos o Clara Grima.

Me alegro de que te haya parecido sencilla y que la quieras utilizar con tus alumnos. Yo redacto mis aportaciones al Carnaval con ese objetivo, es decir, que sean fácilmente comprensibles por casi cualquier persona, y, obviamente, por los escolares. Ojalá llegue el día en el que sea yo el que use mis propias entradas como profesor de Matemáticas.

Pues nada, gracias de nuevo y bienvenida a mi blog ;)