Mentalismo en matemáticas

Las Matemáticas siempre han sido calificadas como inútiles por la mayoría de la gente, más que nada porque las consideran difíciles y porque, aparte de saber sumar, restar, multiplicar y dividir, creen que no hace falta saber más. Nada de sistemas de ecuaciones, derivación, geometría... Uf, para, para, que me pones malo.
No discuto que algunos campos de las Matemáticas son más complicadas que otras, así que, para la entrada de hoy, me voy a quedar únicamente con lo que todo el mundo dice que es necesario saber; es más, no me va a hacer falta ni dividir, así que más fácil todavía. Os voy a explicar un sencillo ejercicio que podríamos calificarlo de 'mentalismo matemático' haciendo uso de sumas, restas y multiplicaciones.
El ejercicio consiste en lo siguiente: piensa en un número de tres cifras y réstale el mismo número pero con las cifras puestas en orden contrario (por ejemplo, a 745 le restamos 547). Un pequeño detalle: el primer número debe tener la cifra de las centenas mayor que el de las unidades, porque, sino, la resta os dará un número negativo, aunque bastaría con quedarnos con el valor absoluto. Una vez hecha la resta (en nuestro ejemplo, obtendríamos 198), le sumamos al resultado ese mismo número pero con las cifras puestas en orden contrario, es decir, siguiendo con el ejemplo, a 198 le sumaríamos 891. Nos sale como resultado final 1.089. ¡Pero es que, cojas el número que cojas, siempre sale 1.089! ¿No os lo creéis? Haced la prueba y comprobad que no miento.
Como veis, con este sencillo ejercicio podemos dejar boquiabiertos a cualquier amigo al que se lo hagamos y que no lo conozca. Le decimos: "Piensa en un número de tres cifras y bla, bla, bla. Te voy a adivinar el resultado final". Hacemos un poco de paripé quedándonos unos segundos concentrados como si estuviéramos leyendo la mente de nuestro amigo y le contestamos: "¡1.089!". Lo único que pasa es que no debemos jugar con la misma persona más de una vez, porque, si no, descubrirá que hay algún truco escondido por ahí, como realmente ocurre.
Bueno, supongo que querréis saber por qué siempre obtenemos 1.089, así que os lo voy a explicar con una cadena de igualdades y usando únicamente sumas, restas y multiplicaciones.

Un número de tres cifras lo podemos expresar como 100x + 10y + z, mientras que el mismo número pero con las cifras en orden contrario sería 100z + 10y + x. Si restamos los dos números, tenemos lo siguiente:

(100x + 10y + z) - (100z + 10y + x) = 99x - 99z

Ahora, vamos a sacar factor común y expresar el resultado como una diferencia:

99x - 99z = 99 (x - z) = 100 (x - z) - (x - z)

A continuación, sumamos y restamos 100 y 10 por separado, por lo que, en realidad, la igualdad se mantiene:

100 (x - z) - (x - z) = 100 (x - z) - 100 + 100 - 10 + 10 - (x - z)

Operamos un poco:

100 (x - z) - 100 + 100 - 10 + 10 - (x - z) =
= 100 (x - z) - 100 + 90 + (10 + z - x)

Sacamos factor común el 100 de los dos primeros sumandos:

100 (x - z) - 100 + 90 + (10 + z - x) =
= 100 (x - z - 1) + 90 + (10 + z - x)

Si os dais cuenta, acabamos de conseguir expresar el número resultante de restar al que pensamos con él mismo pero en orden inverso separando las centenas, las decenas y las unidades. La cifra de las centenas es (x - z - 1), que siempre podemos estar seguros de que no será negativo, ya que dijimos que 'x' tenía que ser mayor que 'z', por lo que, como mucho, tendremos que (x - z - 1) será '0'. La cifra de las decenas siempre va a ser un '9', y con las unidades pasa algo parecido a lo de las centenas, ya que (10 + z - x) siempre será un número menor que '10', ya que 'x' es mayor que 'z'. Una vez aclarado esto, sigamos con la demostración.

Al número que hemos obtenido, tenemos que sumarle el mismo número pero con las cifras en orden contrario, es decir, 100 (10 + z - x) + 90 + (x - z - 1). Si sumamos los dos números, tenemos lo siguiente:

100 (x - z - 1) + 90 + (10 + z - x) +
+ 100 (10 + z - x) + 90 + (x - z - 1) =

= 100x - 100z - 100 + 90 + 10 + z - x +
+ 1000 + 100z - 100x + 90 + x - z - 1

Si operamos un poco, obtenemos el resultado que estábamos buscando:

100x - 100z - 100 + 90 + 10 + z - x +
+ 1000 + 100z - 100x + 90 + x - z - 1 =

= 1000 + 90 - 1 = 1089

Pues ya está, explicado queda. Si hay algún paso que no habéis entendido o si veis que me he equivocado en algún paso, decídmelo a través de un comentario. Ya podéis timar a vuestros amigos con este juego y apostarles un dinero a que le adivináis el numerito :D

Nota: este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta tercera edición está organizado por Rafael Miranda a través de su blog Geometría Dinámica.