Carnaval de Matemáticas 6.3: Teorema de Pitágoras. 22-29 de abril

Es para mí un gran honor poder decir por fin que soy el anfitrión de una de las ediciones del Carnaval de Matemáticas. Todo empezó hace ya cinco años, cuando a Tito Eliatron se le ocurrió lanzar esta iniciativa para divulgar las matemáticas durante unos cuantos días de cada mes a través de las entradas que los blogueros de habla hispana publicarían en sus respectivas bitácoras. Hasta ahora he participado en 42 de las 52 ediciones ya celebradas (las que no casi siempre fue por motivos muy justificados), pero nunca me había atrevido a organizar una de ellas, en parte porque mi blog, al ser personal, no tiene a las matemáticas como tema principal, y consideraba que tenía más sentido que se encargase de dicha tarea otro blog más especializado.

Las ediciones de cada año del Carnaval de Matemáticas siempre han tenido una forma particular de ser referidas (con los decimales del número pi, con nombres de matemáticos famosos...); en concreto, se ha decidido que las del sexto año estén dedicadas a conceptos matemáticos, así que yo, manteniendo esta norma, voy a asociar al nombre de la presente edición uno de los teoremas que más repercusión han tenido a lo largo de la historia. Señoras y señores, sean bienvenidos a la Edición 6.3: Teorema de Pitágoras del Carnaval de Matemáticas, la cual se celebrará en este blog, El mundo de Rafalillo, del 22 al 29 de abril de 2015.
Antes de explicar detalladamente cómo se puede participar en esta edición, qué menos que dedicar unas líneas a contar quién fue Pitágoras y en qué consiste el teorema que lleva su nombre. Pitágoras (569 a.C. - 475 a. C.) fue un filósofo y matemático griego nacido en la isla de Samos y considerado como el primer matemático puro por la gran cantidad de contribuciones que hizo en los campos de la aritmética y la geometría. Desde muy pequeño, viajó mucho debido al trabajo de mercader de su padre, por lo que fue educado por muchos profesores, entre ellos Thales de Mileto y Anaximandro, de quienes recibió la formación matemática que posteriormente le permitiría hacer los descubrimientos por los que es tan famoso.

Fue en Crotona donde fundó la conocida como hermandad pitagórica, una escuela filosófica y religiosa que siempre ha estado envuelta en una halo de misterio, puesto que las normas que debían acatar sus integrantes eran muy estrictas, y no cualquiera podía pertenecer a ella, aunque eran aceptados tanto hombres como mujeres; precisamente, una de éstas era la mujer de Pitágoras, Téano. Los integrantes de esta secta dedicaban su tiempo al estudio de la Astronomía, la Música, la Aritmética y la Geometría, y además afirmaban que todas las cosas son números; tal era esta creencia que dos de los símbolos que solían utilizar para identificarse de forma secreta o para hacer juramentos sagrados eran la tetraktys (figura triangular compuesta por diez puntos ordenados en cuatro filas de uno, dos, tres y cuatro puntos) y el pentagrama (estrella de cinco puntas).
Son innumerables y variados los descubrimientos a los que llegaron los pitagóricos, aunque solían ser atribuidos al propio Pitágoras, y casi todos ligados de una forma más o menos directa con las matemáticas: las relaciones aritméticas de la escala musical, la existencia de solamente cinco poliedros regulares, la generalización de la suma de los ángulos interiores de un polígono, la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2, números con ciertas características (perfectos, amigos, poligonales, oblongos...), etc. De lo que no cabe duda es de que la gran aportación de esta hermandad fue el teorema de Pitágoras, cuyo enunciado relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo de la siguiente forma:

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Es muy probable que Pitágoras encontrara la inspiración para demostrar su teorema al estudiar la geometría egipcia, puesto que este teorema ya era conocido y aplicado por ésta y otras civilizaciones prehelénicas, aunque no existen pruebas de que lo llegaran a demostrar formalmente, tal y como sí hizo Pitágoras. Las primeras referencias del uso de este teorema datan de la matemática babilónica. Del 1600 a. C. es la tablilla de arcilla YBC 7289, en la que está grabado un cuadrado con sus dos diagonales, aunque la tablilla que más relación guarda con el famoso teorema es la Plimpton 322, que está fechada entre el 1900 y el 1600 a. C. y que consta de cuatro columnas que, entre otros valores, relacionan las longitudes del cateto menor y de la hipotenusa de varios triángulos rectángulos.

Como hemos comentado, los egipcios conocían el teorema de Pitágoras, concretamente el de lados 3, 4 y 5, ya que los agrimensores utilizaban una cuerda con doce nudos equidistantes a modo de escuadra para trazar líneas perpendiculares y poder delimitar las fronteras de los terrenos particulares. Por otra parte, muchas de las pirámides egipcias se construyeron basándose en esta terna pitagórica por su valor sagrado, pues consideraban que el 3 representaba a Osiris, el 4 a Isis y el 5 a Horus. Los indios también utilizaban una cuerda para trazar líneas perpendiculares, aunque su triángulo tenía como lados 5, 12 y 13, es decir, otra terna pitagórica.
El teorema de Pitágoras es probablemente el concepto matemático que más demostraciones ha recibido a lo largo de la historia; de hecho, existe un libro que recopila unas 400 pruebas diferentes del teorema, algunas de las cuales mencionaremos a continuación. Como no podía ser de otra forma, comenzaremos por el propio Pitágoras, del que se sabe que aportó al menos dos demostraciones, una por semejanza de triángulos y otra por disección de un cuadrado de lado la suma de los dos catetos, pero no tranquilo con esto también se atrevió a encontrar una regla de obtención de ternas pitagóricas en las que la hipotenusa c siempre era una unidad mayor que el cateto b, tal y como se observa a continuación si a m le asignamos un valor impar mayor o igual que 3:

Euclides, allá por el 300 a. C., enunció el teorema de Pitágoras y su recíproco en las proposiciones 47 y 48 del Libro I de los Elementos con una demostración impecable y sublime, pues únicamente utilizó conceptos básicos de geometría. Seis siglos más tarde, Pappus de Alejandría desarrolló una demostración muy similar a la de Euclides, y para ello recurrió a la proposición 36, que afirma que "dos paralelogramos de igual base, y entre las mismas paralelas, tienen superficies equivalentes". En el applet de GeoGebra que tenéis aquí debajo podéis comprobar moviendo el deslizador n que, efectivamente, las áreas de los cuadrados de los dos catetos ocupan la misma superficie que el cuadrado de la hipotenusa, incluso podéis modificar las longitudes de los lados del triángulo moviendo sus vértices para confirmar que se cumple para cualquier triángulo rectángulo.
Con el paso de los años fueron surgiendo nuevas demostraciones, casi todas procedentes de importantes científicos en sus respectivas épocas y civilizaciones, como por ejemplo el astrónomo y matemático turco Thâbit Ibn Qurra, el matemático hindú Bhaskara, el polímata Leonardo da Vinci, e incluso un presidente de los Estados Unidos, James Abram Garfield. Como última demostración del teorema de Pitágoras vamos a incluir la del rompecabezas que ideó el británico Henry Perigal en el año 1830, que básicamente consiste en trazar una recta paralela y otra perpendicular a la hipotenusa por el centro del cuadrado del cateto mayor, de tal manera que se forman cuatro piezas iguales que, junto con el cuadrado del cateto menor, se pueden combinar para componer el cuadrado de la hipotenusa, tal y como se puede comprobar en el siguiente applet de GeoGebra si movéis el deslizador n, y también podéis modificar las longitudes de los catetos a y b.
Una vez que ya hemos repasado brevemente la vida de Pitágoras y la historia del teorema que lleva su nombre, toca explicar a continuación cómo se puede participar en la Edición 6.3: Teorema de Pitágoras del Carnaval de Matemáticas.
En primer lugar, tienes que publicar en tu blog una entrada que esté relacionada con las matemáticas de la forma que tú desees, es decir, puedes escribir un artículo de divulgación u opinión, compartir la reseña de un libro o de una película que hayas leído o visto recientemente, explicar algún concepto matemático, proponer un acertijo o problema, contar alguna experiencia personal relacionada con las matemáticas, etc. Si no tienes blog, puedes registrarte en la web del Carnaval de Matemáticas y publicar tu aportación allí, o si lo prefieres te ofrezco la posibilidad de que lo hagas en mi blog como colaborador, y obviamente se respetará tu autoría. En cualquier caso, la entrada tiene que ser publicada entre el 22 y el 29 de abril, ambos días inclusive, y al final de la misma tiene que aparecer un mensaje en el que aparezcan enlazados tanto la web del Carnaval de Matemáticas como la del blog anfitrión; por ejemplo, algo similar a lo siguiente:

Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta quincuagésima tercera edición, también denominada 6.3: Teorema de Pitágoras, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.

Cuando hayas publicado tu entrada, es muy conveniente que le des publicidad y, sobre todo, que lo notifiques por uno o varios de los siguientes medios para que yo tenga conocimiento de todas las entradas que vayan a participar en la presente edición:

• Publicando un comentario en esta misma entrada con un enlace a tu aportación.
• A través de Twitter con un tweet que incluya el enlace a tu entrada y el hashtag #CarnaMat63, y que haga mención a mi cuenta (@Rafalillo86) o a la del Carnaval de Matemáticas (@CarnaMat).
• Escribiendo un comentario en el muro de la página de Facebook del Carnaval de Matemáticas.
• Por último, dejando una reseña en la web del Carnaval de Matemáticas, desde donde automáticamente se publicará un aviso en la página de Facebook del Carnaval y un tweet desde la cuenta del Carnaval con el hashtag #CarnaMat63.

Cuando termine el plazo para participar en la Edición 6.3: Teorema de Pitágoras, recopilaré todas las entradas que hayan colaborado para publicar un post a modo de resumen con todas ellas. Tras ello, se abrirá otro plazo, esta vez para que entre todos votemos y elijamos la mejor entrada de todas las que hayan participado.
Si todavía no tienes claro de qué manera puedes divulgar las matemáticas en esta edición, no te preocupes, que aquí te dejo el listado de los resúmenes de todas las ediciones que se han celebrado hasta ahora para que encuentres un poco de inspiración:
Primer año

• Primera Edición (15/02/2010) en Tito Eliatron Dixit.
• Segunda Edición (15/03/2010) en Juan de Mairena [v.2.71828].
• Tercera Edición (19/04/2010) en Geometría Dinámica.
• Cuarta Edición (17/05/2010) en Zurditorium.
• Quinta Edición (21/06/2010) en Ciencia por Barcedavid.
• Sexta Edición (27/09/2010) en Blog de Sangakoo.
• Séptima Edición (25/10/2010) en El Máquina de Turing.
• Octava Edición (21/11/2010) en Los Matemáticos no son gente seria.
• Novena Edición (20/12/2010) en Rescoldos en la trébede.
• Décima Edición (31/01/2011) en La Ciencia de la Mula Francis.

Segundo año

• Edición 2.1 (21/02/2011) en Tito Eliatron Dixit.
• Edición 2.2 (28/03/2011) en Gaussianos.
• Edición 2.3 (24/04/2011) en Los Matemáticos no son gente seria.
• Edición 2.4 (26/05/2011) en Seis Palabras Claras.
• Edición 2.5 (02/07/2011) en Juegos topológicos.
• Edición 2.6 (26/09/2011) en La Vaca Esférica.
• Edición 2.7 (25/10/2011) en La Aventura de la Ciencia.
• Edición 2.8 (29/11/2011) en Ciencia Conjunta.
• Edición 2.9 (26/12/2011) en Que no te aburran las M@tes.
• Edición 2.X (30/01/2012) en Resistencia Numantina.

Tercer año

• Edición 3.1 (28/02/2012) en Scientia potentia est.
• Edición 3.14 (26/03/2012) en Hablando de ciencia.
• Edición 3.141 (04/05/2012) en DesEquiLIBROS.
• Edición 3.1415 (29/05/2012) en Gaussianos.
• Edición 3.14159 (29/06/2012) en Scientia.
• Edición 3.141592 (01/10/2012) en ZTFNews.
• Edición 3.1415926 (29/10/2012) en Series divergentes.
• Edición 3.14159265 (02/12/2012) en Pimedios.
• Edición 3.141592653 (27/12/2012) en Que no te aburran las M@tes.
• Edición 3.1415926535 (30/01/2013) en La Aventura de la Ciencia.

Cuarto año

• Edición 4.1 (26/02/2013) en Tito Eliatron Dixit.
• Edición 4.12 (24/03/2013) en High Ability Dimension.
• Edición 4.123 (01/05/2013) en Eulerianos.
• Edición 4.1231 (27/05/2013) en Matemáticas interactivas y manipulativas.
• Edición 4.12310 (28/06/2013) en Geometría Dinámica.
• Edición 4.123105 (30/09/2013) en Cifras y Teclas.
• Edición 4.1231056 (02/11/2013) en Scientia.
• Edición 4.12310562 (29/11/2013) en ZTFNews.
• Edición 4.123105625 (02/01/2014) en Que no te aburran las M@tes.
• Edición 4.1231056256 (06/02/2014) en Cuentos Cuánticos.

Quinto año

• Edición 5.1 Rey Pastor (04/03/2014) en Tito Eliatron Dixit.
• Edición 5.2 Emmy Noether (31/03/2014) en MatesdeDavid.
• Edición 5.3 Felix Klein (27/04/2014) en Juegos topológicos.
• Edición 5.4 Martin Gardner (06/06/2014) en Gaussianos.
• Edición 5.5 Ronald Fisher (29/06/2014) en Pimedios.
• Edición 5.6 Paul Erdos (24/09/2014) en Cifras y Teclas.
• Edición 5.7 Alan Turing (30/10/2014) en El zombi de Schrödinger.
• Edición 5.8 Betty Scott (08/12/2014) en Tocamates.
• Edición 5.9 Enma Castelnuovo (29/12/2014) en Que no te aburran las M@tes.
• Edición 5.X Sofia Kovalévskaya (28/01/2015) en ZTFNews.

Sexto año

• Edición 6.1 Números Perfectos (02/03/2015) en Tito Eliatron Dixit.
• Edición 6.2 Número Pi (03/04/2015) en La Aventura de la Ciencia.

Pues nada más que decir por ahora. Únicamente añadir que os animo a seguir divulgando las matemáticas tal y como lo llevamos haciendo desde hace más de cinco años, y si eres de los que todavía no se ha puesto a ello, ¿a qué estás esperando?