jueves, 13 de mayo de 2010

¿Errores graves en las matemáticas?

Hace un par de semanas, Sixto, mi profesor de beca en el departamento de Matemática Aplicada, me pasó una noticia del periódico 'El Mundo' del 28 de marzo de 2010, en la que se publica una entrevista al decano de la Escuela de Ingeniería de la Universidad de León, Ángel Alonso, quien, junto con su grupo de investigación especializado en Ingeniería del Conocimiento, asegura que ha detectado errores graves en las matemáticas. Una vez que leáis dicha entrevista completa aquí, continuad con las líneas de esta entrada.
A continuación, voy a exponer mi crítica personal a las afirmaciones de este señor. He de advertir que yo no soy matemático y, por consiguiente, de matemáticas no sé nada prácticamente, solamente lo que he estudiado en el colegio, en algunas asignaturas de mi carrera (Ingeniería Informática) y lo que he llegado a entender en los muchos libros que me he leído sobre ellas, por lo que, si en las siguientes líneas, afirmo o defiendo alguna barbaridad relacionada con las matemáticas, os ruego que me disculpéis (y agradecería enormemente que me corrigierais).
Mi crítica va a ser similar estructuralmente a la primera parte de la publiqué hace unos días a Belén Esteban, es decir, extraeré algunos fragmentos de la entrevista a Ángel Alonso para exponer mi crítica y opinión. Antes de empezar, hay que aclarar la postura de este señor, que, por lo que se deduce de sus palabras, defiende el finitismo, el cual afirma que un objeto matemático no existe si no se puede llegar a él en un número finito de pasos partiendo de los números naturales, por lo que niega el concepto de infinito. Esta filosofía de la matemática es considerada una forma extrema del constructivismo.

Y ahora sí, pasemos a destripar la entrevista.
"Los matemáticos aceptan que la matemática continua no es computable. Nosotros también, pero ellos dicen que existe y nosotros decimos que la única forma para que exista es que quien la ejecute no pueda tener limitaciones ni espaciales ni temporales: dios."
Todos estamos de acuerdo con la primera afirmación, ya que es imposible hacer computable el infinito, más que nada porque nuestras herramientas son finitas y siempre lo serán, pero esto no es óbice ni excusa para decir que la matemática continua no existe. No podemos usarla como tal por nuestras propias limitaciones espaciales y temporales, las que no encuentra ese ser llamado Dios, sin embargo eso no implica que no pueda existir.

Para seguir argumentando, conviene que enlacemos con el siguiente comentario del decano.
"La matemática continua funciona cuando se deteriora o se usa como discreta. Se formula como continua pero se usa como discreta. Y nosotros decimos, ¿para qué vamos a formular en continuo lo que es discreto?"
No es que la matemática continua se deteriore por usarla como discreta, es que no tenemos otro remedio. En la teoría, trabajar con formulación continua es indispensable, porque es más exacto y fiable, pero en la práctica, al disponer únicamente de medios finitos, tenemos que discretizar esa continuidad para conseguir resultados que se asemejen lo mejor posible a lo que se obtiene con la teoría continua. Cada día, gracias a la evolución de la computación, dichos resultados son cada vez más exactos, aunque nunca llegaremos a la total exactitud porque siempre habrá una mínima discretización; sin embargo, si tuviéramos los medios para pasar de la teoría continua a la práctica continua sin discretizar entre medias, sin duda optaríamos por este camino.

Ahora, pasamos a una intervención de Ángel Alonso en la que ejemplifica su punto de vista.
"La matemática continua dice que el radio de una circunferencia es constante: nadie puede construir un radio constante de una circunferencia, nadie. La gente lo que confunde es que si la pintas con un compás, como el ojo humano tiene limitado poder de resolución, pues parece continuo, pero si lo miras a través de un microscopio enseguida te das cuenta de que no es continuo."
Aquí se reafirma lo que he dicho antes: la matemática continua, en la teoría, da una definición de circunferencia, pero, al pasar a la práctica, es imposible trazar una circunferencia continua y perfecta. En este punto, estamos todos de acuerdo, pero es aquí donde el decano llega a su primera contradicción: mirar a través de un microscopio es lo mismo que adentrarse entre dos objetos matemáticos discretos consecutivos (por ejemplo, los números 1 y 2) y comprobar que hay algo entre medias. Este algo no es más que la infinita cantidad de números reales (la matemática continua) que están acotados por arriba y por abajo (el 1 y el 2), al igual que hace un microscopio cuando se va acercando cada vez más y más, que nos descubre que siempre podríamos estar adentrándonos si pudiéramos y que nunca acabaríamos.

Centrémonos ahora con el principal concepto de discusión: el infinito.
"Meter en la cabeza de un niño la idea de infinito es una barbaridad."
Hombre, quizás para un niño es demasiado complicado asimilar y entender el concepto de infinito, y hasta para los adultos puede llegar a serlo también, pero sabemos lo que es y lo que representa. Es imposible imaginar el infinito, pero existe y no existe, aunque parezca una contradicción, y me explico. Existe porque, como he comentado en líneas anteriores, entre dos números cualesquiera hay infinitos números, y se puede demostrar que es así. No existe porque, como el infinito es sólo una representación de un número extremadamente grande, ese número nunca deja de crecer. Suponiendo únicamente los números naturales, ¿dónde está el infinito? En pocas palabras, lo más alejado por la derecha, pero esa lejanía se hace cada vez más lejana, por lo que nunca podremos decir: esto es el infinito.

Por último, tanto el decano como su grupo de investigación creen poder encontrar una solución.
"La alternativa a los números reales pasa, inexorablemente por introducir un nuevo concepto de números, que hemos denominado números de valor múltiple o multivalor. Es la abolición de la matemática continua. Si pensáramos que la matemática continua no es válida pero no es dañina nos daría igual, pero creemos que está haciendo daño y que en las aulas crea una violencia extrema: tratar de imponer conceptos que nosotros consideramos imposibles nos parece muy grave."
Yo no sé si la solución que proponen, y que todavía tienen que definir, podría llegar a ser válida o no; como dije al principio, no estoy capacitado para entrar en tanta profundidad, pero me da que no van a conseguir su objetivo, que no es otro que destruir la matemática continua, a la que acusan de ser dañina y de generar violencia en las aulas por imponer conceptos imposibles. Ya hemos dejado claro que conceptos como el infinito son inabarcables, pero se puede y se debe trabajar con ellos para conseguir resultados fiables; para nada hacen daño, sino todo lo contrario, porque gracias a la matemática continua tenemos lo que tenemos. Sin ella, no podríamos construir edificios, disponer de toda la tecnología actual (ordenadores, teléfonos...), viajar al espacio, etc. En resumen: la matemática continua, a pesar de su imperfección y de sus limitaciones prácticas, funciona.
Ya de forma general, sin centrarme en una cita en concreto de la entrevista, pienso que Ángel Alonso se ha metido en un terreno que no es el suyo. No digo que no pueda criticar lo que critica, que está en su derecho, pero creo que él precisamente no es el más indicado y apto para decir lo que dice sobre las matemáticas, porque los matemáticos están mucho más preparados que él para debatir sobre tan delicado tema, y, por sus palabras, me da la impresión de que se quiere echar flores a sí mismo. No digo que no tenga razón, que a lo mejor la tiene, pero me reportaría más confianza que lo hubiera dicho un experto en Matemáticas que un doctor en Ingeniería de Telecomunicaciones.
Además, parece que es él mismo el que se contradice con sus afirmaciones. Para empezar, niega la existencia del infinito y de la matemática continua, pero defiende a la matemática discreta. Pues bien, resulta que ésta se encarga de estudiar los conjuntos finitos o infinitos numerables, como, por ejemplo, los números naturales y enteros. ¡Vaya! La matemática discreta hace uso del término 'infinito'. ¿Gran contradicción, no? Si negamos al infinito, no podríamos contar, sólo podríamos tener un número y de ahí no podríamos salir, porque, si no, nos cargamos de golpe y porrazo el principio de inducción matemática, el cual hace uso de los naturales y enteros para demostrar que infinitos números cumplen una determinada propiedad.
Ángel Alonso puede afirmar que no podemos llegar a entender o alcanzar el infinito, que es cierto, pero no puede negar que no exista. Que no vayamos a usar cifras astronómicamente enormes (que es lo que, a mi entender, representa el infinito), no quiere decir que no exista, porque, como dice la citada inducción matemática, si tenemos el natural 'n', también tenemos el natural 'n + 1'.
En fin, lo que más me ha sorprendido de todo es que sea una persona de ciencias la que haya defendido esta postura, sobre todo teniendo en cuenta que a la vista está que el foco de sus críticas, la matemática continua, se aplica todos los días y funciona, aunque para ello sea necesaria su discretización. De nuevo, pido disculpas si he metido la pata con algunas de mis críticas.

Nota: este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta cuarta edición está organizado por Carlos a través de su blog Zurditorium.

22 comentarios:

Ada dijo...

Wow! Ésta es la entrada que más me ha gustado de tu blog :)

Pues estoy de acuerdo 101% en todo lo que dices. Además, desde mi humilde opinión, creo que no has cometido ningún error hablando de los conceptos matemáticos.

La opinión de este hombre es más propia de alguien que estudie filosofía, pero no de alguien de ciencias, como tú dices. Habla de conceptos muy difusos que no descansan sobre demostraciones formales.

Por otra parte, puede resultar engañoso para los lectores no familiarizados el tema de la "Ingeniería del Conocimiento". Puede parecer que este grupo de investigación se ocupa del conocimiento en sí mismo, de destriparlo; cuando lo cierto es que en esta disciplina, el conocimiento "viene dado" y los ingenieros simplemente intentan representarlo y trabajar con él, por supuesto haciendo las concesiones necesarias (es decir, admitiendo que las máquinas son finitas).

Además, afirma que surge una "violencia extrema" a partir de la imposición de conceptos como "infinito", "punto adimensional" o "línea recta", y que este choque intelectual puede ser responsable de muchos casos de fracaso escolar entre los alumnos que de primera hora rechazan las matemáticas. Esto lo considero una tontería como la copa de un pino, porque este rechazo atávico a los números se da en la mayoría de los casos en los primeros cursos escolares, donde el concepto más chungo que se enseña es la "división inexacta".

No digo que sus números multivalor no sirvan para nada. Es posible que tengan muchas aplicaciones, ya que puede que consigan "mapear" de una forma más exacta la continuidad de las matemáticas a la discreción de los sistemas artificiales. Pero de ahí a cargarse de un plumazo la continuidad... Va un trecho demasiado amplio que sólo se explica con un exceso de pretensiones.

Que se dediquen a demostrar que P=NP y se dejen de tonterías :P

Toshiyano dijo...

Es lo que he opinado siempre! xDD

Elias F. Combarro dijo...

Totalmente de acuerdo con lo que dices. Vi esta noticia en el tablón de anuncios de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Oviedo (en la que imparto clase precisamente de Matemáticas Discretas y Teoría de Computabilidad) y me pareció lamentablemente. Por desgracia, no es la única persona que ha hecho/hará este tipo de declaraciones. Cada poco tiempo aparece una noticia con titulares como "El Teorema de Fermat es falso" o "Se descubre como cuadrar el círculo". En fin, sólo decir que la ignorancia es muy atrevida.

Lo peor de todo es los medios de comunicación les suelen dar mucha cancha a este tipo de noticias y que, en este caso concreto, parece que hay todo un grupo (¿financiado estatalmente?) trabajando en este tipo de cosas. Ojo, no me meto con la calidad de su investigación (no he leído nada de sus publicaciones, por lo que no puedo opinar), pero me parece que las declaraciones sobre temas de fundamentos de las matemáticas que ha hecho este hombre son muy, muy desafortunadas y que pueden desorientar a mucha gente, lo cual es triste y lamentable.

Respecto al contenido del artículo, sólo matizar una cuestión:

"Todos estamos de acuerdo con la primera afirmación, ya que es imposible hacer computable el infinito"

Bueno, eso realmente no es así. Incluso dentro de la matemática continua se puede hablar de números computables (como por ejemplo "pi") y números no computables (la mayor parte y como ejemplo paradigmático el famoso número Omega de Chaitin). De hecho el artículo original de Alan Turing en el que se introduce el concepto que hoy conocemos como Máquina de Turing trataba precisamente sobre los números reales y cuáles eran computables y cuáles no.

Así mismo, se puede hablar de "computaciones infinitas" (el estudio de la hiper-computación, por ejemplo) y de "computación con infinitos" (la aritmética de ordinales y cardinales infinitos, por ejemplo).

Ana de la Fuente dijo...

Yo también estoy de acuerdo...para variar...pero me encanta que se publiquen artículos, aunque sean de este tipo,que traten sobre las matemáticas...porque si no fuera por el citado artículo, Rafalillo no habría hecho una crítica tan estupenda...
Lo importante es que se hable y se discuta sobre matemáticas...y que evolucionen...seguro que todavía hay mucho por descubrir...no?

Daniel dijo...

Yo siempre lo he dicho: "Las matemáticas, en realidad, no existen"

-Moebius-

@Ada: Recuerda que X0 = X1.

Andrés dijo...

Me he perdido entre muchos tecnicismos, porque si dices que no sabes prácticamente nada de matemáticas, entonces yo sí que sé cero patatero, pero más o menos tengo una sola cosa que decir.

El infinito a mi sí me parece totalmente factible, y es más, no sabía que se podía debatir sobre su existencia.

Si no entiendo mal, dice que si no se puede llegar en unos pasos concretos a un número, este no existe.

No lo entiendo. Si ya es difícil asimilar que pueda existir el infinito, algo que se escapa a nuestros límites, más lo es pensar que hay esos límites porque simplemente no podemos llegar a ellos.

Si yo me pongo a contar de uno en uno, y me paso toda la vida contando y me muero sin llegar al 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000 ¿significa eso que ese número no existe? ¿es esto lo que quiere decir este hombre?

Para mi, que uno no sepa llegar a cierto número, no significa que no exista. Por eso existe el infinito, porque siempre habrá algo más allá de lo que podamos ver.

Griseo Mitran dijo...

Pues totalmente de acuerdo contigo Rafa.

Por cierto cuando he leído el título no sabía que iba a ir la cosa por esos tiros, pero oye, ha estado mejor el tema verdadero que el otro tema que me esperaba al leer el título. jajaja

Y como dijo Ada, "Que se dediquen a demostrar que P=NP y se dejen de tonterías". xDDD

Saludos.

Rafalillo dijo...

Ada: me alegro de que te haya gustado tanto. Me parece que voy a tener que escribir más críticas en mi blog, se ve que te atrae :D
Jaja 101% es imposible, con un 100% ya es suficiente :P
En realidad, como he comentado en el blog, el problema que se trata se engloba más bien dentro de la filosofía de la matemática (finitismo, constructivismo...).
Pues sí, tú yo sabemos qué es realmente la Ingeniería del Conocimiento, lo único que se hace es aplicar el conocimiento conocido en una máquina, pero no se crean nuevos conocimientos.
El rechazo a las matemáticas de los niños es por culpa de los profesores, que no las enseñan bien. Dan clase como si fuera de Historia, y ése no es el camino correcto. Y sí, la división inexacta era chunga, igual que resolver una raíz cuadrada a mano :D
Es lo que he dicho: el problema que dicen encontrar en las matemáticas lo deberían afrontar los matemáticos, que seguro que están mejor preparados.

Toshiyano: te mojas menos que un gato. Y después, cuando en la uni nos poníamos a hablar de política y yo no opinaba nada, me 'obligabas' a que me mojara... ¡Qué mal te sienta ser ingeniero! :P

Elias F. Combarro: antes de nada, bienvenido al blog ;) Supongo que me habrás conocido a través del Carnaval de Matemáticas. Me alegro de que mi entrada te haya resultado interesante :D
Los medios de comunicación no tienen ni idea de lo que hablan, con tal de publicar algo les da igual si es o no una noticia que merezca la pena.
Con mi afirmación, quería expresar que ni se puede estar computando infinitamente ni lograr representar el infinito. ¿'Pi' es realmente un número computable? Pero si no se conocen todos sus decimales... Supongo que el concepto de número computable no lo entiendo correctamente, y tú, como profesor de Matemáticas, supongo quelo sabrás mejor que yo, así que mejor no te lo discuto.

Ana de la Fuente: lo mismo que a Elías, supongo que habrás llegado hasta aquí gracias al Carnaval de Matemáticas. Espero seguir viéndote por aquí ;)
Gracias por los halagos, he hecho la crítica lo mejor que he podido. Si tú, como profesora de Matemáticas, consideras que es estupenda, habrá merecido la pena el haber estado unas horas escribiéndola :D
Seguro que hay mucho por descubrir, de hecho, hay todavía muchos problemas sin resolver. Tenemos mates para rato.

Daniel: pues si no existen, nos las hemos inventado muy bien jeje.
Para los que no hayan entendido la igualdad de Daniel, X0 es Aleph_0 y X1 Aleph_1. Ahí no te doy la razón ;)

Andrés: lo importante es reconocer la ignorancia ;)
El infinito ha dado mucho que hablar. Es lo que tú dices y lo que yo he dicho en el post: que no podamos llegar a él no quiere decir que no exista. Es como decir "Yo nunca he visto 1 billón de euros, luego no existe", no tiene sentido alguno.

Griseo Mitran: por dónde creías tú que iba mi entrada? Espero impaciente tu respuesta ;)

Gracias a todos por vuestros comentarios, no me esperaba tanta aceptación en un solo día. Muchas gracias de corazón :D

Elias F. Combarro dijo...

Un número real es computable si existe un algoritmo que nos permita aproximarlo tanto como deseemos. Así, pi es computable, ya que existen (muchos) algoritmos para calcularlo con tantos decimales como se desee.

Sin embargo, la mayor parte de los números reales no son computables ya que sólo hay un número infinito numerable de algoritmos pero una cantidad infinita no numerable de números reales.

Elias F. Combarro dijo...

Para quien quiera saber más de los números computables:

http://en.wikipedia.org/wiki/Computable_number

Ah, y se me olvidaba decir que llegué al blog gracias a un tweet de Tito Eliatron.

Ada dijo...

Daniel: No digas que las matemáticas no existen, que me sale la urticaria!! :P

En cuanto a lo de X0 y X1... Gracias Rafalillo por la aclaración, no lo había pillado xD. Tampoco te doy la razón, lo siento jeje.

Saludos!

PD: 0'99... = 1.

Griseo Mitran dijo...

Na que cuando leí el título me vino a la mente las típicas demostraciones en las que siempre se terminan con contradicciones del tipo 1=-1. xD

Pero vamos, como te he dicho, me ha gustado más el tema del que has hablado.

Saludos.

Rafalillo dijo...

Elías F. Combarro: pero 'pi' no podemos calcularlo con todos los decimales que queramos, no? Según tengo entendido, el máximo número de decimales que se conocen que pi son 2'7 billones, luego si queremos una precisión de 3, 4, 5 billones, de momento no lo podemos conseguir, no? En fin, que no es que te quite la razón, será que yo lo entiendo de otra forma...
Pues sí, Tito Eliatron ha twitteado todos los posts del Carnaval; por cierto, lo de los 2'7 billones de pi lo sé porque lo publicó en su blog.

Ada: yo tampoco lo había pillado, te tuve que mandar un correo a Dani para que me lo explicara.
P.D.: 0'9... != 1 :P

Griseo Mitran: lo que habías pensado no serían graves errores de las matemáticas, sino grandes 'trampas' ocultas de las matemáticas :D


Gracias a los tres por vuestros comentarios ;)

Elias F. Combarro dijo...

Si quisiéramos (y tuviéramos suficiente paciencia y espacio de almacenamiento) podríamos llegar a calcular tantos decimales de pi (o de cualquier otro número computable) como queramos.

En Computabilidad siempre se trabaja con modelos abstractos (por ejemplo, máquinas de Turing) y no se tiene en cuenta si los algoritmos son eficientes o no (es decir, si son útiles en la práctica) si no solamente si existen o no.

Rafalillo dijo...

Vale, creo que ya lo he entendido, basta con tener un algoritmo que sea capaz de calcular decimal tras decimal de un número real para que éste sea computable (suponiendo que el algoritmo pudiera estar funcionando todo el tiempo que quisiéramos).
Gracias por insistir con tus comentarios ;)

Elias F. Combarro dijo...

Exacto, esa es la idea. Lo curioso del asunto es que hay números que NO son computables. De hecho, la mayor parte de los números reales NO son computables.

Rafalillo dijo...

La mayor parte no son computables porque son infinitos y, supongo, los únicos que son computables son aquéllos que se pueden obtener a partir de una fórmula o una expresión matemática, como pi, e, el número áureo o las raíces cuadradas, terceras, cuartas... de todos los números. Y, aunque parezcan muchos, no son nada comparado con la densidad del infinito.

Muchas gracias de nuevo por hacerme comprender lo que es un número computable :D

Elias F. Combarro dijo...

En realidad es una cuestión de "tamaños de infinitos". Hay infinitos números computables y también hay infinitos números no computables. Pero el segundo infinito es más grande. Hay una cantidad infinita numerable de números computables (tantos como programas o algoritmos distintos, o fórmulas si quieres llamarlos así) y una cantidad infinita no numerable (de la cardinalidad del continuo, en realidad) de números no computables. Es algo semejante a lo que sucede con los números algebraicos y los trascendentes (de hecho, todos los números algebraicos son computables, pero no todos los computables son algebraicos).

Rafalillo dijo...

Sí, lo que tú has dicho es lo que yo había pensado, pero no lo expresé así. En la carrera, lo de infinitos numerables y no numerables (aleph0, aleph1...) me lo han trillado bastante jeje.

Muchas gracias de nuevo ;)

Anónimo dijo...

Este señor es un provocador y no aporta nada nuevo en el artículo. Simplemente exagera y saca de contexto determinadas cuestiones. Pretende volver al siglo XIX, simplemente porque ÉL no es capaz de crear un modelo de gestión del conocimiento humano por ordenador. En vez de eso, niega que la matemática transfinita forme parte del "conocimiento humano"

Espero que esta frase sea aportación del periodista:
"han detectado errores en las matemáticas. Y graves, advierten."

Si estos levantaran la cabeza:

http://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor

http://es.wikipedia.org/wiki/Godel

Anónimo dijo...

ALUCINANTE!!!!

«La matemática continua introduce
propiedades imposibles que frenan el avance de la ciencia»

Rafalillo dijo...

Anónimo, yo también creo que está equivocado en muchas cosas que afirma, y de hecho he demostrado que él mismo se contradice con sus palabras.
Esto no quiere decir que sus críticas vayan por mal camino. Puede ser que las matemáticas no sean como creemos que son, y quizás la solución no sea la que él propone, sino otra que nadie ha sido capaz de descubrir.

Por cierto, los dos Anónimos son la misma persona? Como siempre digo en estos casos, me gustaría que, en vez de llamaros 'Anónimo', uséis un nombre que os identifique, si no es muy difícil diferenciaros. También me gustaría saber cómo has llegado hasta mi blog, si me conoces, si me habías visitado antes... En fin, sea como sea, bienvenido y espero que te diviertas con mi blog ;)