martes, 15 de febrero de 2011

¿Números cerca del infinito?

Pregúntale a un niño de 5 años cuál es el número más grande que conoce y te dirá el 10 seguramente. Para la misma pregunta, un chaval de 15 años responderá un billón o un trillón, mientras que un veinteañero que está estudiando Matemáticas o cualquier carrera técnica en la universidad asegurará que es el infinito. Bueno, siendo puristas, es mentira que infinito sea un número, pero sí es un símbolo que representa un número más grande de lo que la mente de un ser humano pueda imaginar, el número inalcanzable, el número que nunca se podría escribir. No sabemos cuál es, pero si podemos saber cómo es, pues basta con escribir un 9, después otro 9, y otro 9, y otro 9, y así infinitos nueves, hasta que todo se extinga, pero todavía tendríamos que seguir escribiendo nueves y nueves. Ni hace muchos años, ni ahora, ni dentro de miles de años necesitaremos utilizar este número ni otros monstruosamente enormes, pero sí es cierto que existen algunos números también espeluznantemente largos que, aunque no tienen mucha utilidad, sí tienen un nombre. A continuación, hablaremos de tres de ellos y de algunas curiosidades que seguro os van a sorprender.
El primer número del que os voy a hablar no os lo voy a decir todavía, pero probablemente fue pensado  y calculado por primera vez hace cientos de años, según se puede deducir de la leyenda que, cierta o no, os voy a contar. Se dice que el ajedrez fue inventado en la India, y el monarca hindú de aquel entonces, entusiasmado al comprobar que el juego era muy entretenido y que proporcionaba multitud de partidas diferentes, quiso premiar a su súbdito inventor con un regalo a su elección, fuere cual fuere, ante lo que el súbdito le respondió que quería un grano de trigo por la primera casilla del tablero de ajedrez, dos granos por la segunda casilla, cuatro granos por la tercera casilla, ocho granos por la cuarta... El monarca le ordenó que parase y que esa misma noche recibiría un saco con todos los granos pedidos, aunque también le recriminó que se sentía menospreciado por haberle pedido un premio tan insignificante.
Pasadas unas horas, el monarca preguntó a sus sirvientes si el regalo había sido ya entregado, pero le contestaron que los matemáticos del palacio estaban calculando todavía el número de granos de la recompensa. Ya de noche, extrañado y molesto por la tardanza, volvió a interesarse por el premio, a lo que le respondieron que tendrían el cálculo definitivo a la mañana siguiente. Y así fue. Bien temprano, los matemáticos fueron recibidos por el monarca, quien les preguntó si el joven inventor había recibido ya su regalo. Los matemáticos le dijeron que no, puesto que sería imposible satisfacer dicho regalo. El monarca, sorprendido por las palabras de sus sabios, les pidió el número de granos que tendrían que ser entregados al súbdito, y éstos le respondieron que habría que conseguir 18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo, es decir, más de 18 trillones de granos.
El súbdito había pedido en realidad (2^64) - 1 granos, un número que visto así parece muy poco pero que realmente es el que calcularon los matemáticos del monarca hindú. ¿Por qué era imposible satisfacer la recompensa del joven inventor del ajedrez? Si tuviésemos una caja de un metro cúbico, podríamos meter en él 15 millones de granos aproximadamente, es decir, que necesitaríamos 1.229.782.938.247 cajas para guardar todos los granos pedidos. El dato que acabamos de calcular nos indica el número de metros cúbicos necesarios, pero, para más comodidad, lo pasamos a kilómetros cúbicos, por lo que nos quedarían 1.229 cajas cúbicas cuyos lados midiesen un kilómetro, o lo que es lo mismo, si pusiéramos estas cajas en fila una detrás de otra, entonces podríamos unir las dos capitales de provincia más distantes de la España peninsular, Huelva y Gerona, y todavía nos sobrarían 51 cajas.
¿Y cuánto tardaríamos en contar todos los granos para asegurarnos de que no falta ninguno? Son tantos que seguramente nos equivocaríamos, pero vamos a suponer que lo hacemos bien y que somos capaces de contar un grano cada segundo. En un día, podríamos contar 86.400 granos, y eso sin dormir, ni comer ni hacer otra cosa que contar. Tras una semana, habríamos contado 604.800 granos; pasado un mes de 30 días, 2.592.000 granos; en un año, 31.536.000; en 50 años, algo más de 1.500 millones de granos de trigo, ni siquiera una millonésima parte del total. Atención: tendríamos que estar ¡¡¡584.942.417.355 años!!! contando granos, es decir, cuarenta veces más que el tiempo de vida que se estima que tiene el Universo.
Vamos a aprovechar de estimaciones astronómicas para dar paso al segundo número del que vamos a hablar. Se dice que en el Universo conocido existen unos 10^90 átomos, que sí, se dice muy rápido, pero es mucho más de lo que pensáis. Pues bien, hay un número más grande que éste y que, al contrario que el de la leyenda anterior, sí tiene un nombre concreto: googol. ¿Te suena? Exacto, es muy parecido a Google, y es que el conocido buscador iba a llamarse realmente Googol, pero uno de sus creadores, Larry Page, lo escribió mal y se quedó finalmente el término Google que estamos hartos de utilizar y nombrar.
¿Cuánto es un googol? Pues 10^100, también muy fácil de decir, pero fijaos en que es un número diez mil millones de veces más grande que el número de átomos que hay en el Universo, como hemos dicho unas líneas más arriba, así que un poquito de respeto que estamos hablando de algo muy serio. El número de granos de trigo antes calculado estaba compuesto por 20 cifras, mientras que éste necesita algunas más, en concreto 101, pues se compone de un uno seguido de cien ceros, es decir, apenas tardaríamos un par de minutos en escribirlo en un papel.
¿No os ha dejado suficientemente boquiabiertos este número? Bueno, a ver si con este ejemplo lo consigo. A mediados del año 2008, se estimó que existían mil millones de ordenadores en todo el mundo y que para 2014 se habría duplicado esta cifra; también se comenta que para entonces el tamaño medio de un disco duro será de 15 terabytes. A tenor de estos datos, podemos calcular fácilmente que dentro de tres años podremos almacenar en los discos duros de todo el mundo información equivalente a 3 * 10^22 bytes. ¿Mucho? Pues sí es mucho, pero no es nada comparado con el número del que estamos hablando ahora, ya que un googol es 3'333 * 10^77 veces más grande que toda esa información, es decir, necesitaríamos millones y millones y millones... y millones de planetas como el nuestro para tener un googol de bytes.
Antes de pasar al tercer número del que vamos a hablar, también hay que mencionar a un pariente del googol que es mucho más monstruoso: el googolplex. La manera más sencilla de expresarlo es como la googolésima potencia de 10, es decir, 10^10^100, pero es que es la única forma de hacerlo, puesto que el número se compone de un uno seguido de un googol de ceros. Si para contar los más de 18 trillones de granos de trigo tardaríamos más tiempo incluso que la vida del Universo, entonces para escribir un cero cada segundo un googol de veces... Necesitaríamos más de ¡¡¡¡¡¡3 * 10^92 años!!!!!! para terminar de escribirlo. Es más, el papel que usaríamos para escribirlo no cabría en el Universo conocido. Ahí queda eso.
Pasemos, ahora sí, al tercer número del que os quería hablar: el número de Leviatán. Antes de deciros cuál es, tengo que explicaros por qué se llama así. Leviatán es el nombre con el que se conoce a una bestia marina de tamaño descomunal que ha sido utilizada para simbolizar en numerosas ocasiones al demonio en la Biblia y en la literatura cristiana. El demonio o Satanás suele relacionarse habitualmente con la marca de la Bestia, el 666, y precisamente este guarismo aparece en el número de Leviatán: (10^666)!. El signo de exclamación no es un fallo mío, sino que representa al operador matemático factorial, el cual se encarga de obtener el producto de todos los números menores e iguales al indicado; por ejemplo, el factorial de 5 (5!) sería 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120. Ahora que sabéis lo que es el factorial, atreveos a calcular el número de Leviatán. Imposible, ¿verdad?
Si ya 10^666 es mayor que el googol del que hablábamos antes, imaginaos el resultado de calcular el factorial de esa potencia. Hablando en plata, este número es prácticamente incalculable. A pesar de esta imposibilidad, sí se conocen dos características del número de Leviatán. Una de ellas es que sus primeros seis dígitos son 134.072, mientras que el número de cifras que lo componen en total es mayor que 10^668. ¿Qué quiere decir esto último? Pues que su longitud es 10^568 mayor que la de un googolplex, o, dicho de otra forma, que harían falta más de ¡¡¡¡¡¡¡¡¡3 * 10^660 años!!!!!!!!! para poder escribir todas y cada una de sus cifras. A-LU-CI-NAN-TE.
(2^64) - 1, el googol, el número de Leviatán... Números increíblemente grandes, enormes, bestiales, inimaginables, incalculables. Para nosotros, bien pueden representar el infinito, pero es que el mayor de ellos no es ni la infinitésima parte del infinito. Así pues, ¿están cerca del infinito? ¡Qué va! Ni de lejos, y nunca mejor dicho.

Nota: este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta undécima edición, también denominada 2.1 por el primer aniversario, está organizado por Jose Antonio, el creador de dicho evento, a través de su blog Tito Eliatron Dixit.

23 comentarios:

Tito Eliatron dijo...

Muchas gracias por tu aportación.

Andrés dijo...

Qué interesante, no conocía el número de Leviatán, que encima me parece muy romántico al estar relacionado con la mitología marina.

Los otros los conocía de refilón, pero siempre se me olvidaba lo que realmente representaban, y claro, con lo fastuosos que son, seguramente los seguiré olvidando XD.

La leyenda del tablero de ajedrez me encanta, la conozco desde pequeño y te hace ver de una manera muy fácil el poder de las potencias.

DarkDragon dijo...

Me pareció bastante interesante y lo leí entero.

Un saludo Rafa.

Fran.

Migue dijo...

Gran artículo. Aquí te das cuenta de la grandeza de los números.

Lo del ajedrez es mítico. Una leyenda genial para los que como yo, son amantes del ajedrez. Es lo primero que se le debería enseñar a un niño que aprende ajedrez.

Lo del gúgol también lo habia escuchado alguna vez en el colegio. Lo que no sabía es su similitud con Google. Y lo del Leviatán sí que no lo había escuchado nunca.

Es impresionante todo lo que dan de sí los número y lo que se puede hacer con ell

Miguel dijo...

'A-LU-CI-NAN-TE'

Digo lo mismo, Rafa.

P.D: creo que el nombre de googol se lo dio el hijo del matemático que lo descubrió, o al menos eso he oido.

Saludos¡

Clarck kent dijo...

No sabes como me gustan estos articulos, son cosas que mas o menos conocemos, o hemos leido alguna vez y por fin alguien las resume en un solo articulo, ameno y facil de recordar.

Me ha gustado sobre todo la forma de enfocar la del ajedrez, que aunque es conocida por todos, por lo menos para mi no era mas que un calculo frio y sin ninguna emocion. Me recuerda una apuesta que hacemos los magos, cuantas veces podrias doblar un periodico por la mitad? Ya te lo digo yo, no mas de siete, y ahora imagina que lo pudieras doblar 100 veces, eso seria la distancia que nos separa del sol.

Pues eso..... que me ha gustado muchisimo.

Saludos.

Rafalillo dijo...

Tito Eliatron: gracias a ti por ser el papá de este maravilloso Carnaval :D

Andrés: tú también hablaste hace poco de la leyenda hindú del ajedrez.
La verdad es que sorprende la fastuosidad de estos números :D

DarkDragon: tío, ya me has comentado dos veces en apenas una semana!!!
Me alegro de que te haya resultado interesante ;)

Migue: si lo del googol y Google no lo sabías, casi casi que lo podrías haber deducido, más que nada por lo que se parecen los términos. El número de Leviatán es mucho menos conocido, de hecho lo descubrí hace unos dos años como mucho creo leyendo un libro de divulgación matemática.
Se puede hacer muchas cosas, como contar y contar y no terminar nunca :P

Miguel: exacto, el nombre de 'googol' se lo inventó un chavalín de 9 añitos solamente, en concreto el sobrino del que definió dicho número, el matemático Edward Kasner.

Clarck Kent: más me alegra a mí que te haya gustado ;)
Lo de doblar un papel ya lo conocía también; además, se basa en lo mismo que lo del ajedrez, en las potencias de 2.

Gracias a todos por vuestros comentarios ;)

Anónimo dijo...

esta claro que las matematicas actualesno serviran en un futuro , en el futuro se utilizaran modulos ,conceptos mas haya de la cuantificacion numerica puntual.

Rafalillo dijo...

Anónimo, antes de nada te pediría que la próxima vez que me dejes un comentario lo hagas identificándote con tu nombre o nick en vez de como Anónimo. Por otra parte, te doy la bienvenida al blog, el cual espero que visites a partir de ahora. Y me gustaría saber cómo me has encontrado, si no es mucho pedir ;)

Con respecto a tu comentario, creo que estás totalmente equivocado. Las matemáticas siempre han sido útiles, lo siguen siendo y siempre lo serán. El mundo no sería el que conocemos sin las matemáticas; es más, tú no me podrías haber dejado tu comentario si no llega a ser por las matemáticas.

Saludos ;)

Anónimo dijo...

el numero de graham es mas grande

Rafalillo dijo...

Hola, Anónimo.

Antes de nada, te doy la bienvenida a mi blog, el cual espero que sigas visitando a partir de ahora. Por curiosidad, me gustaría que me dijeras cómo me has encontrado ;)

Otra cosa importante. Si vuelves a dejarme un comentario, te agradecería que te identificaras con tu nombre o nick, y así te puedo diferenciar del resto de Anónimos que me escriben por aquí de vez en cuando.

Con respecto a tu comentario, pues sí, parece ser que el número de Graham es todavía mayor que los que yo he mencionado en mi post, así que gracias por tu aportación ;)

Saludos!

Anónimo dijo...

Te falto el numero de Graham, que ni se cuantos dígitos tiene por su magnitud, y el googolduplex que tiene entre 16 y 17llones de numeros, igual, buen post

Anónimo dijo...

Error, el numero de 10mil16llones de digitos que mencionaste es el googolplex, el googolduplex, el mas grande de todos descubiertos hasta ahora es 10 elevado a ese gigantezco numero, es decir, 10 a la googolplex

Anónimo dijo...

Nose si es ma grande el googolduplex o el leviatan, si podes decir los digitos aprox de c/u?

Rafalillo dijo...

Hola, Anónimo.

Antes de nada, te invito a que la próxima vez que comentes te identifiques con un nombre para así distinguirte de los demás.

Con respecto a tu pregunta, aquí puedes encontrar parte de la respuesta:
https://es.wikipedia.org/wiki/G%C3%BAgol

Son números tan grandes que casi no merece la pena ni pararse a pensar cómo de grandes son o cuántas cifras. Simplemente son tan bestiales, pero al mismo tiempo no son nada con el infinito.

Saludos ;)

Unknown dijo...

Entendiendo??? el numero de Graham con escaleras
A. notación de flechas de Knuth con ejemplos:
flecha sencilla (potenciacion)
2↑5=2 ala 5 = 2 elevado a la 5 = 2x2x2x2x2 = 2x ... x2 donde el 2 aparece aquí 5 veces = 32
3↑3 = 3^3 = 27
3↑4 = 81

flecha doble (escalera - tetracion - es.wikipedia.org/wiki//Tetración )
3↑↑4 = 3↑3↑3↑3 = 3↑ ... ↑3 donde el tres aparece aquí 4 veces = escalera de cuatro treses =
3↑↑4 = 3↑3↑3↑3 = 3↑[3{↑(3↑3)}] donde los paréntesis indican el orden para operar =
3↑↑4 = 3↑[3↑(3↑3)] = 3↑[3↑(27)] = 3↑[3↑27] = 3↑[7.625.597.484.987]
3↑↑4 = 3↑7.625.597.484.987 = 3 ^7.625.597.484.987,
qué es un poco más de 10^3.638.334.640.024 ( un 1 seguido de más de 3,6 billones de dígitos; para escribirlo, a la velocidad de 10 dígitos por segundo, tardaríamos más de 11.537 años!) un número verdaderamente monstruoso. numero de digitos : mas de 3,6 billones.
(gugol, dígitos: 101 ; gugolplex, dígitos: (10^100)+1 ; (2^64) - 1, dígitos:20)

2↑↑5= torre de cinco doses = 2↑2↑2↑2↑2 = 2↑2↑2↑4 = 2↑2↑16 = 2↑65536
veámoslo, abordandolo en forma de escalera de dobles flechas:
2↑↑5:
2↑↑1 = 2
2↑↑2 = 2↑2 = 4
2↑↑3 = 2↑4 = 16
2↑↑n = 2↑resultado anterior = 2↑(2↑↑n-1)
2↑↑4 = 2↑16 = 65536
2↑↑5 = 2↑65536 = del orden de 10^19728, digitos: 19729
numero de escalones : 5
aqui vemos el poder de aumentar una flecha
2↑5=32, dígitos: 2 ........ 2↑↑5=del orden de 10^19728, dígitos: 19729

B. abordando el numero de Graham con escaleras de dobles y triples flechas
****3↑↑3 tetracion****
ESCALERA UNO 3↑↑3:
3↑↑1 = 3
3↑↑2 = 3↑3 = 27
3↑↑3 = 3↑27 = 7625597484987, digitos:13
numero de escalones : 3 FIN escalera UNO

****3↑↑↑3 pentación****
ESCALERA DOS 3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3) = 3↑↑7625597484987:
3↑↑1 = 3
3↑↑2 = 3↑3 = 27
3↑↑3 = 3↑27 = 7625597484987
3↑↑4 = 3↑7625597484987 = qué es un poco más de 10 elevado a la 3.638.334.640.024 ( un 1 seguido de más de 3,6 billones de dígitos; para escribirlo, a la velocidad de 10 dígitos por segundo, tardaríamos más de 11.537 años!) un número verdaderamente monstruoso.
3↑↑5 = 3 elevado al mounstruoso numero anterior, (3↑(el monstruoso número anterior)) , el cual para escribirlo no nos alcanzaría este universo, ni inimaginables universos mas!
a partir de aqui ningún epíteto sirve y los números son (verdaderamente) inimaginablemente grandes!!
(3↑↑6) = 3 elevado al cada vez mas mounstruoso numero anterior = 3↑(3↑↑5)
3↑↑7 = ?? y así sucesivamente..
3↑↑8 = ?? ( = torre de ocho treses en potenciación uno encima de otro) = 3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3
3↑↑9 = ??...
.....
.....
.....
3↑↑7625597484984 = ??
3↑↑7625597484985 = 3 elevado al cada vez mas ?? numero anterior = 3↑(3↑↑7625597484984)
3↑↑7625597484986 = ??
3↑↑7625597484987 = ?? = 3↑↑↑3 digitos: no hay forma de saberlo
numero de escalones : 7625597484987 FIN escalera DOS

Hay que predigerirlo con calma: 3↑↑↑3 = = 3↑↑(3↑↑3) = 3↑↑7625597484987 = ??
3↑↑↑3 es equivalente a este ultimo numero de una escalera de mas de 7,6 billones de escalones, donde el 5to escalon ya era un numero indescriptiblemente grande.

****3↑↑↑↑3 (hexacion:)****
3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3) = 3↑↑↑(3↑↑7625597484987) tendriamos que abordarlo como una
escalera de TRIPLE flecha con un increíble numero de pasos (3↑↑7625597484987):
ESCALERA TRES descriptiva
3↑↑↑(1)
3↑↑↑(2)
3↑↑↑(3)
...
....
3↑↑↑(7625597484987)
...
...
....
...
....
3↑↑↑(3↑7625597484987)
...
....
....
.....
....
.....
....
.....
3↑↑↑(3↑↑7625597484987)
numero de pasos: 3↑↑7625597484987 (FIN escalera TRES descriptiva)

Unknown dijo...

la anterior escalera equivale a
3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3) = 3↑↑↑(3↑↑7625597484987) de tres flechas se degrada a 2 flechas tantas veces como dicta el numero de la derecha
= 3↑↑3↑↑ ... .... .... ↑↑3↑↑3↑↑3 donde el numero tres aparece aqui 3↑↑7625597484987 veces!
hay que digerir con calma esto ultimo.
para operarlo hay que empezar por los dos ultimos tres, después el siguiente...
= 3↑↑3↑↑ ... .... .... ↑↑3↑↑3↑↑(3)
= 3↑↑3↑↑ ... .... .... ↑↑3↑↑(3↑↑(3))
= 3↑↑3↑↑ ... .... .... ↑↑(3↑↑(3↑↑(3)))
....
....
y asì sucesivamente, donde, para abordarlo en forma de escalera se tendría que digerir que,
uno: aumenta el numero de pasos, ni 3, ni 7625597484987, si no 3↑↑7625597484987 pasos!!
dos: cada paso opera con el resultado del anterior, pero en doble flecha, no en flecha sencilla.
(3)
(3↑↑(3))
(3↑↑(3↑↑(3)))
(3↑↑(resultado anterior)
.....
y asi sucesivamente hasta completar 3↑↑7625597484987 pasos (o escalones)
...y, tres: observar que esto se corresponde con la escalera de triple flecha anterior
3↑↑↑↑3
3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3) = 3↑↑↑(3↑↑7625597484987) =
= 3↑↑3↑↑ ... .... .↑↑3↑↑3 donde el numero tres aparece aqui 3↑↑7625597484987 veces!
ESCALERA TRES NUEVAMENTE
3↑↑↑(1) = (3) = 3
3↑↑↑(2) = (3↑↑(3)) = 3↑3↑3 = 7625597484987
3↑↑↑(3) = (3↑↑(3↑↑(3))) = (3↑↑7625597484987) = (VER ESCALERA DOS)
3↑↑↑(4) = (3↑↑(inimaginable resultado anterior)= ¡PLOP!
3↑↑↑(5) = (3↑↑(resultado anterior) =
3↑↑↑(6) = (3↑↑(resultado anterior) =
...
....
3↑↑↑(7625597484987) =
...
...
.... .... ....
...
....
3↑↑↑(3↑7625597484987) *en algún momento se llega a este paso (ver en escalera dos el paso 4)
y se sigue derecho porque todavía se está muy lejos del final
....
....
..... .... .....
.... ...... ....
..... .... ....
....
.....
3↑↑↑(3↑↑7625597484987) = 3↑↑↑↑3
número de pasos o escalones: 3↑↑7625597484987 - FIN escalera TRES nuevamente
Observemos que:
El número de pasos aumenta demasiado: ni 3, ni 7625597484987, ni 3↑7625597484987, si no un numero que esta en otro orden de cosas; (3↑↑7625597484987) ¡solo el número de pasos!
La cantidad aumenta paso tras paso en forma mucho más desmesurada que nunca: tan solo en el paso tres se cubre la cantidad total de la escalera DOS, la cual a su vez teniendo 7.625.597.484.987 escalones, aumenta tan rápidamente, que ya en su quinto paso se acaban los adjetivos para describir lo enorme de la cantidad que sigue(el escalón seis), ni que decir de llegar al final de esa escalera DOS.

y aqui la cosa se pone mas interesante, (desde el punto de vista descriptivo, porque de seguirle el paso a las cantidades, eso se pierde entre el paso 3 y el 7 de la escalera DOS - dependiendo de la persona.).
Y se pone interesante porque en el siguiente paso ya no aumenta una flecha, 3↑↑↑↑↑3, si no muchisimas mas.
C. numero de graham con escalera CUATRO con otra clase de pasos (escalones)

para describir el número de graham se construye una escalera de simples 64 pasitos. pero en cada “pasito” se avanza ya no de a una sola flecha ( lo que ya de por si sería mas que desproporcionado),
sino de a increíblemente muchas flechas, veamos:

****numero de graham G=g64****
ESCALERA CUATRO
g1 = 3↑↑↑↑3 ( *escalera TRES)
g2= 3↑↑ ... … … … … … … ↑↑3
donde hay g1 flechas!!! ... ... ... ....g1 flechas.. g1 flechas! ... ...g1 flechas?

g3= 3↑↑ ... … … … … … … ↑↑3
..donde hay g2 flechas!!! ... como diantres llegue aqui?? como diantres siguió Graham?

ni que decir de
g4,
g5,
...
...
....
g32= 3↑↑ ... … … … … … … ↑↑3
..donde hay g31 flechas
.....
.....
.....
g64 !!!! valla que lo lamba un burro!!!!
numero de escaloncitos: 64 FIN escalera CUATRO

Rafalillo dijo...

Unknown, gracias por tus dos comentarios, aunque he de decirte que son un poco rocambolescos y desordenados como para poder entenderlos. Espero que la próxima vez te expliques mejor.

Un saludo ;)

Unknown dijo...

Eso demuestra la enormidad incomprensible del numero de graham = G = g64
para aproximarse hay que leer primero otros artículos y entender la notación de flechas de Knuth. Ver ademas es.wikipedia.org//wiki/Número_de_Graham; aun asi en ningun articulo tratan de desarrollarlo, no me refiro a la serie g1...g64, sino al desarrollo de g1=3↑↑↑↑3; bueno, no desarrollarlo, si no describir su desarrollo. Eso fue lo que trate de hacer en los dos comentarios anteriores que unidos forman uno solo.
Adicional, no se va a entender a la primera ni segunda: toca coger lápiz y papel y tratar de desarrollar g1=3↑↑↑↑3. (primero habiendo leído los otros artículos). Al tratar de desarrollar tan solo 3↑↑↑3 que es solo una parte de g1 uno se da cuenta que es una torre de tres elevado a la 3 elevado a la 3 elevado a la 3... y así sucesivamente más de 7,6 billones de veces...
así que en los dos anteriores comentarios, trate de describir su desarrollo como una escalera (escalera DOS), donde cada resultado depende del anterior.y su uno digiere que pasa en los pasos o escalones 4, 5 y 6, entonces se dará cuenta de que no se puede ni siquiera imaginar lo que pasa en el escalón 7 billones ni mucho menos en el último. Ni que decir de la escalera TRES!
_____________________________________
Lo que paso fue que en una parte de otro blog, encontré..
3↑3 = 3.3.3 = 27
3↑↑3 = 3↑(3↑3)=3(e 27) = 7.625.597.484.987
3↑↑↑3= 3↑↑3↑↑3 = 3(e 7.625.597.484.987) = A UN NÚMERO FUERA DE ESCALA.
________________
así que comente:
otro error:
al decir que
a) 3↑3 = 3.3.3 = 27
b) 3↑↑3 = 3↑(3↑3)=3(e 27) = 7.625.597.484.987
c) 3↑↑↑3= 3↑↑3↑↑3 = 3(e 7.625.597.484.987) = A UN NÚMERO FUERA DE ESCALA.
no se qué quiere decir con la letra e. Pero si quiere decir “elevado a la” como se deduce del ítem b, {3(e 27) = 7.625.597.484.987}, entonces, en el ítem c está equivocado porque 3↑↑↑3 sería = a 3↑↑4 (3↑7.625.597.484.987) lo cual no es cierto.
En realidad 3↑↑↑3= 3↑↑3↑↑3= 3↑↑(3↑↑3)=3↑↑7.625.597.484.987
que es diferente a 3↑7.625.597.484.987 (3 elevado a la potencia 7.625.597.484.987 que a su vez es lo mismo que 3↑↑4).
si el símbolo e quiere decir otra cosa, entonces la equivocación está en el ítem b
______________________________________
y despues continue con lo siguiente...
(VER siguiente comentario)

Unknown dijo...

______________________________________
y despues continue con lo siguiente...
veamos algo mas:
A.sigamos una serie de dobles flechas hasta llegar a 3↑↑7.625.597.484.987:
3↑↑2= torre de 2 treses (3 a la 3) = (3↑3) =27
3↑↑3= torre de 3 treses (3 a la 3 a la 3) = (3↑3↑3) = 3 a la 27 = 7.625.597.484.987
3↑↑4= torre de 4 treses (3 a la 3 a la 3 a la 3) = 3 ↑(3↑27) = 3 ala 7.625.597.484.987 = 3↑7.625.597.484.987, qué es un poco más de 10 elevado a la 3.638.334.640.024 ( un 1 seguido de más de 3,6 billones de dígitos; para escribirlo, a la velocidad de 10 dígitos por segundo, tardaríamos más de 11.537 años!) un número verdaderamente monstruoso.
3↑↑5 = torre de 5 treses (3↑3↑3↑3↑3) = (3↑(el monstruoso número anterior)) el cual para escribirlo no nos alcanzaría este universo, ni inimaginables universos mas!
a partir de aqui ningún epíteto sirve y los números son (verdaderamente) inimaginablemente grandes (3↑↑6)!!
Ni que decir de 3↑↑7, 3↑↑8, 3↑↑9, … y así sucesivamente hasta llegar a…
3↑↑7.625.597.484.987= torre de 7.625.597.484.987 treses = (3↑3↑3 … * … 3↑3↑3)
…que es solo tres flechitas 3↑↑↑3, (3↑↑↑3=3↑↑3↑↑3=3↑↑(3↑↑3)= 3↑↑7.625.597.484.987), con lo cual vemos el poder (por llamarlo de alguna manera), de aumentar una simple flechita!!
B. para seguir, utilicemos la siguientes tres abreviaturas:
… * … : “donde el número tres está aqui 7.625.597.484.987 de veces”
… ** … : “donde el número tres está aqui 3↑7.625.597.484.987 de veces”
… *** … : “donde el número tres está aqui 3↑↑7.625.597.484.987 de veces”
ojo!, que son números muy diferentes, (pre-digerirlo antes de seguir)
C. ahora g1 es con cuatro flechitas: 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3) = 3↑↑↑(3↑↑7.625.597.484.987) = una serie 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … … … 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 donde el número 3 aparece aqui 3↑↑7.625.597.484.987 veces!!
con las abreviaturas g1 = 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … *** … 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3.
D. ahora si, metamosle el diente a g1:
g1 = 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … *** … 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 =
, solo ocupándose de los 3 últimos tres =
3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … *** … 3↑↑3↑↑3↑↑(3↑↑3↑↑3) =
(, y ya que 3↑↑↑3= 3↑↑3↑↑3,) =
3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … *** … 3↑↑3↑↑3↑↑(3↑↑↑3) =
3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … *** … 3↑↑3↑↑3↑↑(3↑↑7.625.597.484.987) =
, cogiendo un cuarto tres seria, =
3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … *** … 3↑↑3↑↑{3↑↑(3↑↑7.625.597.484.987)} =
3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … *** … 3↑↑3↑↑{3↑3↑3 … *** … 3↑3↑3} =

este último corchete {3↑3↑3 … *** … 3↑3↑3} sería = ….{3↑↑3↑↑3↑↑3} de los últimos 4 treses de la serie de doble flechas.
nótese que este último corchete {3↑3↑3 … *** … 3↑3↑3} es mucho más que {3↑3↑3 … ** … 3↑3↑3} el cual a su vez es mucho más que {3↑3↑3 … * … 3↑3↑3 = 3↑↑7.625.597.484.987 }
confundido?

sigamos, cojamos el quinto tres, g1=
3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … *** … 3↑↑[3↑↑{3↑3↑3 … *** … 3↑3↑3}], el cual me niego a desarrollar.
ni que decir de coger el 6to tres, el 7mo tres, el 8avo tres, … … …, hasta el primer tres de la serie original de dobles flechas (3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … *** … 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3).
y eso seria solo g1 = 3↑↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … *** … 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3.
E. Bien, la vaina se complica con g2
g2= 3↑↑ … … … … … … ↑↑3
donde hay g1 flechas!!! … … … ….g1 flechas.. g1 flechas! … …g1 flechas?

y g3= 3↑↑ … … … … … … ↑↑3
..donde hay g2 flechas!!! … … como diantres llegue aqui??

ni que decir de g4, g5, …, g64 !!!!
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pero después, me di cuenta que desarrollando esto en forma de escalera se podría

Unknown dijo...

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pero después, me di cuenta que desarrollando esto en forma de escalera se podría entender (??) mejor. Es decir entender que después de los escalones 4, 5, 6 y 7 de la escalera DOS, la enormidad del numero se vuelve incomprensible: ni que decir después de mas de 7 billones de pasos para completar esta escalera DOS. ni que decir de la escalera tres que tiene muchos, pero muchos, muchos, mas pasos y crece de paso a paso mucho, pero mucho mas rápido, ni de la escalera cuatro, que contiene solo 64 escalones, pero del uno al otro crece infinitamente mas rapido, por que se mete con el numero de flechas...).
Entender que no se puede entender, apenas tratar de describir.
Repito toca leer varios artículos y coger lápiz y papel! Aun así los interrogantes -??- del verbo entender no son accidentales.
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anónimo:
gugolduplex, dígitos (10^10^100)+1; muchos mas que.. los del numero de leviatan, digitos: mas de 10^668 (lo dice en el articulo de rafa,elillo).

Unknown dijo...

https://www.youtube.com/watch?v=BUf58lsUCFs

Unknown dijo...

https://www.youtube.com/watch?v=BUf58lsUCFs
http://gaussianos.com/monstruos-numericos/
…la cantidad de treses que obtenemos en la torre de exponentes de G escapa totalmente a cualquier concepción humana .....
Es mucho mas que eso. Si 3↑↑↑3 que es una torre de mas de 7.6 billones de treses uno sobre el otro (3 ala 3 la 3 ala 3 ... ala 3 ala 3 mas de 7,6 billones de veces) y ya en el cuarto y quinto tres va asi :
3↑↑4 = 3↑7625597484987 = qué es un poco más de 10 elevado a la 3.638.334.640.024 ( un 1 seguido de más de 3,6 billones de dígitos; para escribirlo, a la velocidad de 10 dígitos por segundo, tardaríamos más de 11.537 años!) un número verdaderamente monstruoso.
3↑↑5 = 3 elevado al mounstruoso numero anterior, (3↑(el monstruoso número anterior)) , el cual para escribirlo no nos alcanzaría este universo, ni inimaginables universos mas!
a partir de aqui ningún epíteto sirve y los números son (verdaderamente) inimaginablemente grandes,
seguirán 3↑↑6, 3↑↑7, 3↑↑8 ... ... ...
ni que decir de llegar al 3 de la base o sea al 3↑↑7.625.597.484.987 ),
pero en fin, al representarlo como torre de treses, se tendría que escribir un tres sobre otro y sobre otro, etc mas de 7.6 billones de veces - para ver el tamaño de la torre reto a cualquiera a que genere, no en fisico, sino electronicamente un archivo de mas de 7 billones de dígitos -; pero en fin , supongamos que este numero se puede imaginar y su valor es x.
pues solo para g1 = 3↑↑↑↑3 se tienen que seguir x pasos,
el primer paso arroja simplemente el numero 3 como su valor
el 2do paso es una escalera de 3 treses (3↑3↑3) que arroja al ya famoso 7.625.597.484.987 como su valor
en el paso n construimos una torre del tantos tres como diga el valor arrojado en el paso anterior
o sea en el paso 3ro construimos una torre de 7.625.597.484.987 de treses; el valor que arroja este paso ya lo habíamos comentado en los primeros párrafos y lo nombramos como x y es un número inimaginablemente grande (vuelva por favor a leer esa descripción de Si 3↑↑↑3=x).
y solo vamos en el paso 3ro.
en el paso 4to construimos una torre de x treses, uno sobre el otro,
solo para escribir esta expresión en forma de torres de exponentes no nos alcanzaría ni este universo, ni imaginables universos más, ni siquiera en forma digital, porque el número de bits no alcanzaria.
y solo vamos en el paso 4to
el valor que arroja este paso es ya fuera de toda descripción, llamemoslo z.
para el paso 5to construimos una torre de treses donde haya z treses, uno sobre el otro.
aqui ya no tiene sentido seguir desde el punto de vista numérico;
solo su seguimiento es meramente descriptivo.
seguirán el paso 6to, 7mo, .... hasta el paso número x,
ojo no estoy diciendo hasta el paso googol, googolplex, gugolduplex, gugoltriplex, etc etc etc, sino hasta el paso x,
de una serie de pasos que crece tan rápido que ya en su 3er paso
era inimaginable.
ni que decir del valor que arrojaría este ultimo paso numero x,
y ese seria g1.entonces la expresión del articulo : "...... a cantidad de treses que obtenemos en la torre de exponentes de G escapa totalmente a cualquier concepción humana ......
seria ya aplicable en g1, no hace falta llegar ni siquiera a g2,
mucho menos a g64=G
https://www.youtube.com/watch?v=BUf58lsUCFs
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