¿Números cerca del infinito?

Pregúntale a un niño de 5 años cuál es el número más grande que conoce y te dirá el 10 seguramente. Para la misma pregunta, un chaval de 15 años responderá un billón o un trillón, mientras que un veinteañero que está estudiando Matemáticas o cualquier carrera técnica en la universidad asegurará que es el infinito. Bueno, siendo puristas, es mentira que infinito sea un número, pero sí es un símbolo que representa un número más grande de lo que la mente de un ser humano pueda imaginar, el número inalcanzable, el número que nunca se podría escribir. No sabemos cuál es, pero si podemos saber cómo es, pues basta con escribir un 9, después otro 9, y otro 9, y otro 9, y así infinitos nueves, hasta que todo se extinga, pero todavía tendríamos que seguir escribiendo nueves y nueves. Ni hace muchos años, ni ahora, ni dentro de miles de años necesitaremos utilizar este número ni otros monstruosamente enormes, pero sí es cierto que existen algunos números también espeluznantemente largos que, aunque no tienen mucha utilidad, sí tienen un nombre. A continuación, hablaremos de tres de ellos y de algunas curiosidades que seguro os van a sorprender.

El primer número del que os voy a hablar no os lo voy a decir todavía, pero probablemente fue pensado  y calculado por primera vez hace cientos de años, según se puede deducir de la leyenda que, cierta o no, os voy a contar. Se dice que el ajedrez fue inventado en la India, y el monarca hindú de aquel entonces, entusiasmado al comprobar que el juego era muy entretenido y que proporcionaba multitud de partidas diferentes, quiso premiar a su súbdito inventor con un regalo a su elección, fuere cual fuere, ante lo que el súbdito le respondió que quería un grano de trigo por la primera casilla del tablero de ajedrez, dos granos por la segunda casilla, cuatro granos por la tercera casilla, ocho granos por la cuarta... El monarca le ordenó que parase y que esa misma noche recibiría un saco con todos los granos pedidos, aunque también le recriminó que se sentía menospreciado por haberle pedido un premio tan insignificante.

Pasadas unas horas, el monarca preguntó a sus sirvientes si el regalo había sido ya entregado, pero le contestaron que los matemáticos del palacio estaban calculando todavía el número de granos de la recompensa. Ya de noche, extrañado y molesto por la tardanza, volvió a interesarse por el premio, a lo que le respondieron que tendrían el cálculo definitivo a la mañana siguiente. Y así fue. Bien temprano, los matemáticos fueron recibidos por el monarca, quien les preguntó si el joven inventor había recibido ya su regalo. Los matemáticos le dijeron que no, puesto que sería imposible satisfacer dicho regalo. El monarca, sorprendido por las palabras de sus sabios, les pidió el número de granos que tendrían que ser entregados al súbdito, y éstos le respondieron que habría que conseguir 18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo, es decir, más de 18 trillones de granos.

El súbdito había pedido en realidad (2^64) - 1 granos, un número que visto así parece muy poco pero que realmente es el que calcularon los matemáticos del monarca hindú. ¿Por qué era imposible satisfacer la recompensa del joven inventor del ajedrez? Si tuviésemos una caja de un metro cúbico, podríamos meter en él 15 millones de granos aproximadamente, es decir, que necesitaríamos 1.229.782.938.247 cajas para guardar todos los granos pedidos. El dato que acabamos de calcular nos indica el número de metros cúbicos necesarios, pero, para más comodidad, lo pasamos a kilómetros cúbicos, por lo que nos quedarían 1.229 cajas cúbicas cuyos lados midiesen un kilómetro, o lo que es lo mismo, si pusiéramos estas cajas en fila una detrás de otra, entonces podríamos unir las dos capitales de provincia más distantes de la España peninsular, Huelva y Gerona, y todavía nos sobrarían 51 cajas.
¿Y cuánto tardaríamos en contar todos los granos para asegurarnos de que no falta ninguno? Son tantos que seguramente nos equivocaríamos, pero vamos a suponer que lo hacemos bien y que somos capaces de contar un grano cada segundo. En un día, podríamos contar 86.400 granos, y eso sin dormir, ni comer ni hacer otra cosa que contar. Tras una semana, habríamos contado 604.800 granos; pasado un mes de 30 días, 2.592.000 granos; en un año, 31.536.000; en 50 años, algo más de 1.500 millones de granos de trigo, ni siquiera una millonésima parte del total. Atención: tendríamos que estar ¡¡¡584.942.417.355 años!!! contando granos, es decir, cuarenta veces más que el tiempo de vida que se estima que tiene el Universo.

Vamos a aprovechar de estimaciones astronómicas para dar paso al segundo número del que vamos a hablar. Se dice que en el Universo conocido existen unos 10^90 átomos, que sí, se dice muy rápido, pero es mucho más de lo que pensáis. Pues bien, hay un número más grande que éste y que, al contrario que el de la leyenda anterior, sí tiene un nombre concreto: googol. ¿Te suena? Exacto, es muy parecido a Google, y es que el conocido buscador iba a llamarse realmente Googol, pero uno de sus creadores, Larry Page, lo escribió mal y se quedó finalmente el término Google que estamos hartos de utilizar y nombrar.
¿Cuánto es un googol? Pues 10^100, también muy fácil de decir, pero fijaos en que es un número diez mil millones de veces más grande que el número de átomos que hay en el Universo, como hemos dicho unas líneas más arriba, así que un poquito de respeto que estamos hablando de algo muy serio. El número de granos de trigo antes calculado estaba compuesto por 20 cifras, mientras que éste necesita algunas más, en concreto 101, pues se compone de un uno seguido de cien ceros, es decir, apenas tardaríamos un par de minutos en escribirlo en un papel.
¿No os ha dejado suficientemente boquiabiertos este número? Bueno, a ver si con este ejemplo lo consigo. A mediados del año 2008, se estimó que existían mil millones de ordenadores en todo el mundo y que para 2014 se habría duplicado esta cifra; también se comenta que para entonces el tamaño medio de un disco duro será de 15 terabytes. A tenor de estos datos, podemos calcular fácilmente que dentro de tres años podremos almacenar en los discos duros de todo el mundo información equivalente a 3 * 10^22 bytes. ¿Mucho? Pues sí es mucho, pero no es nada comparado con el número del que estamos hablando ahora, ya que un googol es 3'333 * 10^77 veces más grande que toda esa información, es decir, necesitaríamos millones y millones y millones... y millones de planetas como el nuestro para tener un googol de bytes.
Antes de pasar al tercer número del que vamos a hablar, también hay que mencionar a un pariente del googol que es mucho más monstruoso: el googolplex. La manera más sencilla de expresarlo es como la googolésima potencia de 10, es decir, 10^10^100, pero es que es la única forma de hacerlo, puesto que el número se compone de un uno seguido de un googol de ceros. Si para contar los más de 18 trillones de granos de trigo tardaríamos más tiempo incluso que la vida del Universo, entonces para escribir un cero cada segundo un googol de veces... Necesitaríamos más de ¡¡¡¡¡¡3 * 10^92 años!!!!!! para terminar de escribirlo. Es más, el papel que usaríamos para escribirlo no cabría en el Universo conocido. Ahí queda eso.

Pasemos, ahora sí, al tercer número del que os quería hablar: el número de Leviatán. Antes de deciros cuál es, tengo que explicaros por qué se llama así. Leviatán es el nombre con el que se conoce a una bestia marina de tamaño descomunal que ha sido utilizada para simbolizar en numerosas ocasiones al demonio en la Biblia y en la literatura cristiana. El demonio o Satanás suele relacionarse habitualmente con la marca de la Bestia, el 666, y precisamente este guarismo aparece en el número de Leviatán: (10^666)!. El signo de exclamación no es un fallo mío, sino que representa al operador matemático factorial, el cual se encarga de obtener el producto de todos los números menores e iguales al indicado; por ejemplo, el factorial de 5 (5!) sería 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120. Ahora que sabéis lo que es el factorial, atreveos a calcular el número de Leviatán. Imposible, ¿verdad?
Si ya 10^666 es mayor que el googol del que hablábamos antes, imaginaos el resultado de calcular el factorial de esa potencia. Hablando en plata, este número es prácticamente incalculable. A pesar de esta imposibilidad, sí se conocen dos características del número de Leviatán. Una de ellas es que sus primeros seis dígitos son 134.072, mientras que el número de cifras que lo componen en total es mayor que 10^668. ¿Qué quiere decir esto último? Pues que su longitud es 10^568 mayor que la de un googolplex, o, dicho de otra forma, que harían falta más de ¡¡¡¡¡¡¡¡¡3 * 10^660 años!!!!!!!!! para poder escribir todas y cada una de sus cifras. A-LU-CI-NAN-TE.
(2^64) - 1, el googol, el número de Leviatán... Números increíblemente grandes, enormes, bestiales, inimaginables, incalculables. Para nosotros, bien pueden representar el infinito, pero es que el mayor de ellos no es ni la infinitésima parte del infinito. Así pues, ¿están cerca del infinito? ¡Qué va! Ni de lejos, y nunca mejor dicho.

Nota: este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta undécima edición, también denominada 2.1 por el primer aniversario, está organizado por Jose Antonio, el creador de dicho evento, a través de su blog Tito Eliatron Dixit.