La manzana derivable

Éste es el tercer curso que trabajo como profesor de Matemáticas de 1º y 2º ESO en un colegio concertado de Málaga (por poco tiempo porque a partir del 1 de septiembre pasará a formar parte de la larga lista de parados españoles), pero llevo más tiempo dando clases particulares de esta asignatura a alumnos y alumnas de todos los cursos de Secundaria y Bachillerato. Tanto en el colegio como en estas clases de apoyo he vivido anécdotas y situaciones de todo tipo, y hoy voy a relataros una de ellas que considero bastante útil compartirla con todos vosotros.

Hace unas semanas me encontraba en casa de una alumna de 1º Bachillerato de Ciencias Sociales para explicarle el tema de Funciones, concretamente el apartado correspondiente a la continuidad y derivabilidad de funciones. La chica, a la hora de resolver los típicos ejercicios de funciones a trozos, se medio defendía, ya que sabía qué pasos había que seguir en cada caso, aunque a veces cometía errores al calcular los límites correspondientes. Tras resolver unos cuantos, le dije que de ellos podíamos obtener las siguientes conclusiones:

1. Si una función no es continua, entonces no es derivable.
2. Si una función es continua, entonces puede ser derivable.
3. Si una función es derivable, entonces es continua.

La alumna no entendía por qué estas tres afirmaciones eran ciertas a pesar de que sabía a qué se referían los conceptos de continuidad y derivabilidad de funciones, y me refiero al estudio de estas características en un punto, aspecto que daré por supuesto de aquí en adelante para no tener que añadir más esta coletilla. Tras tratar de explicárselo varias veces sin éxito, deduje que el origen del problema no era matemático, sino lingüístico, es decir, no lograba comprender el significado de dichas afirmaciones.
Empecé a darle vueltas a la cabeza en busca de una manera de aclarárselo, y finalmente la encontré de la forma más tonta y simple: con la ayuda de un bolígrafo BIC, un kiwi y una manzana. El boli lo teníamos obviamente a mano, mientras que lo de que las frutas fuesen esas dos en concreto fue simple y llanamente porque le pedí que fuese a la cocina en busca de dos piezas de fruta diferentes y ésas fueron las que trajo. Para que entendiese el significado de las tres conclusiones anteriores le comenté que haríamos las siguientes asociaciones: 'ser continua' equivaldría a 'ser fruta', y 'ser derivable' equivaldría 'ser manzana'.

Busqué en la relación de ejercicios una función a trozos para estudiar su continuidad, y para ello averiguamos el valor de la función y los límites laterales en el punto en cuestión. Observamos que los dos límites nos daban valores diferentes, por lo que la función no era continua, y a continuación le hice la siguiente observación para explicarle la primera afirmación: "Esta función es como un boli BIC: como no es continua (no es fruta), entonces estamos seguros de que no es derivable (no es manzana), así que no hace falta que nos molestemos en estudiar su derivabilidad".

Pasamos a otra función a trozos para estudiar su continuidad. El valor de la función y los dos límites laterales coincidían, así que llegamos a la conclusión de que la función, al contrario que en el caso anterior, sí era continua, a lo que le dije lo siguiente: "Como la función es continua (es fruta), tiene sentido que estudiemos si es derivable o no (si es manzana o no)". Dicho y hecho. Hicimos las derivadas laterales y los resultados que obtuvimos eran distintos, o sea, que no era derivable, y entonces le espeté esto: "Esta función es de tipo kiwi, ya que, a pesar de ser continua (ser fruta), no es derivable (no es manzana)".

Por último, hicimos un tercer ejercicio. De nuevo, cogimos otra función a trozos que resultó ser continua (ser fruta), por lo que, basándonos en la segunda conclusión que obtuvimos al principio, pasamos a comprobar su derivabilidad (si era o no manzana). En esta ocasión, las soluciones de las dos derivadas laterales eran idénticas, por lo que la función resultó ser derivable, y fue entonces cuando le hice ver lo siguiente: "Esta función a trozos es como una manzana, ya que es continua (es fruta) y es derivable (es manzana)". Y luego le añadí esto: "Si en algún ejercicio te piden que estudies la derivabilidad de una función (si es manzana o no), lo primero que tienes que comprobar es su continuidad (ser fruta)".
Así pues, ¿cómo quedarían las conclusiones que detallamos al comienzo del post traducidas a frutas y manzanas? Pues tal y como sigue:

1. Si una función no es fruta, entonces no es manzana, como ocurre con el boli BIC.
2. Si una función es fruta, entonces puede ser manzana, como pasa con el kiwi y la manzana.
3. Si una función es manzana, entonces es fruta, como sucede obviamente con la manzana y solamente con las manzanas.

La chica, aparentemente, se enteró a la perfección del significado de estas tres afirmaciones acerca de la continuidad y derivabilidad de funciones adaptadas a objetos de la vida cotidiana para una mejor comprensión de las mismas. Con esto no se consigue que los alumnos entiendan lo que es la continuidad y/o la derivabilidad, pero sí que al menos corregimos en parte el gran problema que tienen casi todos ellos, sean de ciencias o de letras, de una asignatura o de otra, y es el saber leer y entender lo que le ponemos por delante, pues ¿de qué sirve que les pidamos que resuelvan un ejercicio o un problema si no saben lo que se les pregunta?

Nota: este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta quincuagésima quinta edición, también denominada 6.5 Primos de Mersenne, está organizado por el Blog del Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla.