La potencia del 2 (II)

Hace unas semanas di comienzo a una serie de tres entradas en la que pretendo compartir y explicar varias situaciones en las que las potencias del número 2 juegan un papel determinante a la hora de entender, por ejemplo, un truco de magia con el que podrás dejar boquiabiertos a tus familiares y amigos, o también que puedes ser víctima de un timo si alguien te ofrece un millón de euros a cambio de darle durante unos días pequeñas cantidades de dinero que poco a poco se van haciendo más grandes. Estos dos ejemplos los expliqué detalladamente en la primera entrada de esta serie que hoy continúo con otros dos casos protagonizados por el 2 y sus sucesivas potencias que os van a impactar todavía más. ¿Estáis listos? Pues allá vamos.

La primera situación que vamos a analizar parte de algo que todos hemos hecho alguna vez a lo largo de nuestras vidas, especialmente cuando éramos niños, y es intentar doblar un papel por la mitad la máxima cantidad de veces posible. Si lo intentáis, seguramente todos seréis capaces de doblarlo seis veces, y puede que siete si tenéis unos dedos bien fuertes y no se os resisten demasiado los pliegues que se van acumulando con cada doblez. Parece que lograr superar esos siete dobleces es una barrera infranqueable, pero ¿y si os digo que el récord está en 13 dobleces? ¿Que cómo es posible? Bueno, la verdad es que hay un poco de trampa porque, obviamente, ese récord no se ha conseguido utilizando un folio normal y corriente, sino un rollo de papel higiénico de casi 4 kilómetros de largo, como podéis comprobar en el siguiente vídeo.
Impresionante, ¿verdad? Bueno, esto es solamente un divertido experimento, pero adonde quiero llegar es a la siguiente cuestión: imaginad que tuviésemos una hoja de papel enorme, podríamos decir que infinitamente grande, y que de alguna forma se pudiera doblar por la mitad tantas veces como quisiéramos, por ejemplo 20 veces. ¿Qué altura alcanzaría ese montón de papel? Bueno, me falta por dar un dato importante, y es el grosor de una hoja de papel, que aproximadamente es de 0'1 mm. Cada uno de vosotros tendrá una respuesta diferente, tal vez un metro, 3 o 4 metros quizás, pero supongo que diríais una cantidad similar. Pues no, es bastante más, puesto que si pudiésemos doblar una hoja 20 veces, la altura que alcanzaría entonces sería de unos 105 metros, más o menos la altura del Edificio España, el rascacielos que se encuentra en la Gran Vía de Madrid.
Me imagino que estaréis más que sorprendidos, e incluso puede que no os lo creáis, pero tranquilos, que aquí viene la explicación. La primera vez que doblamos una hoja, obtenemos dos capas, es decir, 2^1 = 2, y, como cada capa tiene un grosor de 0'1 mm, el grosor total será de 2 * 0'1 = 0'2 mm. Si lo doblamos por segunda vez, obtendremos cuatro capas (2^2 = 4), cuyo grosor total será de 4 * 0'1 = 0'4 mm. Si continuamos con un tercer doblez, tendremos ocho capas (2^3 = 8) y un grosor total de 8 * 0'1 = 0'8 mm. Creo que ya sabéis por dónde van los tiros, y es que para averiguar la altura que alcanza una hoja de papel de 0'1 mm de grosor después de haber sido doblada por la mitad N veces basta con calcular el valor de la potencia 2^N y luego multiplicar por 0'1. La cantidad obtenida estará expresada en milímetros, por lo que en ocasiones convendrá dividir dicha cantidad entre mil para expresarla en metros, o entre un millón para pasarla a kilómetros.
Volviendo al ejemplo anterior, tenemos que, al doblar 20 veces una hoja, la altura resultante es de 2^20 * 0'1 = 104.857'6 mm, que son aproximadamente los 104'858 metros que os dije antes, así que, como podéis comprobar, no me estaba tirando ningún farol. La verdad es que yo también me sorprendí hace años cuando vi este problema, no era consciente de lo rápido que crecen las potencias de 2, y mucho menos que, aplicadas a los sucesivos dobleces de una hoja de papel, representasen estas alturas tan grandes, pero, para entender mejor este crecimiento exponencial, os invito a que le echéis un vistazo a la tabla que muestro a continuación.

Como podéis observar, el grosor de una hoja de papel que ha sido doblada 5 veces es similar al diámetro de los conectores de unos auriculares, mientras que si lo doblásemos 10 veces, sería tan alto como un vaso de los que utilizamos para beber agua. En el hipotético caso de que pudiésemos hacer 25 dobleces, ya alcanzaríamos la altura de uno de los picos más elevados de España, y, si eso os parece poco, cómo os quedáis al ver que tan solo haría falta doblar 30 y 35 veces una hoja enorme (obviamente, esta hoja solo cabe en nuestra imaginación) para cubrir la distancia de Madrid a Ávila y de Barcelona a Moscú, respectivamente. Los ejemplos de las distancias planetarias que he indicado ya nos cuesta más visualizarlos, pero basta saber que la Tierra y la Luna están separadas por unos 384.400 km y que la distancia de nuestro planeta al Sol ronda los 150 millones de kilómetros para entender que, efectivamente, doblando varias veces un papel se podría llegar tan lejos como uno quisiera.

Vamos con otro ejemplo en el que están escondidas las sucesivas potencias del 2, la conocida como leyenda del tablero de ajedrez, una historia que no sabemos si ocurrió realmente o no, pero que es muy ilustrativa y útil para comprender que, partiendo de un número tan pequeño como el 2, se puede llegar a números tan grandes que no podemos ni imaginar. Según parece, hace ya muchos años, no se sabe cuántos, había un adinerado y poderoso rey en la India que pidió a uno de sus sirvientes que inventase algún juego con el que poder entretenerse cuando quisiera. Resulta que, al cabo de unos días, dicho súbdito le mostró a su rey el juego del ajedrez, le explicó las reglas, los movimientos de las diferentes piezas y le enseñó cómo se jugaba.
Tan maravillado y contento quedó el rey que no dudó en premiar a su sirviente con el regalo que quisiera por tan magnífico invento. Ante tal ofrecimiento, el súbdito pidió ser recompensado con un grano de trigo por el primer escaque del tablero de ajedrez, dos granos por el segundo escaque, cuatro granos por el tercero, ocho granos por el cuarto, y así sucesivamente el doble de granos de trigo por cada una de las 64 casillas del tablero. El monarca prometió cumplir su promesa y le pidió que se pasase al día siguiente para recoger un saco con todos los granos de trigo que había pedido, aunque le hizo saber un tanto ofendido que le parecía una petición demasiado pobre en comparación con todo lo que podría haberle regalado.

Llegada la noche, el rey le preguntó a los calculistas de su corte si ya habían contabilizado el número de granos de trigo con el que debía recompensar a su sirviente, a lo que le dijeron que todavía estaban calculando dicha cantidad, ante lo cual se quedó extrañado, pues pensaba que no serían tantos los granos de trigo que tendría que regalar, así que exigió que a la mañana siguiente estuviesen terminados los cálculos para poder entregar el saco a su súbdito inventor. Al amanecer, el rey recibió a sus matemáticos para saber la cantidad exacta de granos de trigo que había pedido su sirviente, y éstos, tras disculparse por la tardanza a la hora de hacer los cálculos, le respondieron que no iba a poder cumplir con su promesa, pues tendría que reunir 18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo. El rey se quedó de piedra al comprobar que, en efecto, era imposible que pudiera saldar su deuda con su sirviente.
A estas alturas, un número tan grande ya no nos sorprende, aunque es tal su magnitud que en realidad no somos conscientes de cuánto representa. Antes de eso, vamos a explicar por qué la cantidad de granos de trigo que obtuvieron los calculistas del monarca es exactamente ésa. La petición que le hizo el sirviente a su rey es similar, si recordáis, al timo que vimos en la primera entrada de esta serie, y que consistía en pagar a otra persona un céntimo el primer día, dos céntimos el segundo, cuatro céntimos el tercero, ocho céntimos el cuarto, y así sucesivamente durante un mes. Ahora, en vez de céntimos estamos tratando con granos de trigo, y en vez un mes o 31 días estamos considerando los 64 escaques de un tablero de ajedrez; por lo tanto, lo que tenemos que hacer es sumar las potencias de 2 desde la de exponente 0 (2^0 = 1 grano de trigo) hasta la de exponente 63 (2^63 granos de trigo). Ya vimos entonces que dicha suma equivalía a restarle 1 a la siguiente potencia, luego el total de granos de trigo sería 2^64 - 1, cuyo resultado es el monstruoso número que calcularon los matemáticos del rey.

¿Y cuántos sacos de trigo representan? Pues bien, aquí los cálculos no pueden ser tan precisos, pero sí podemos hacer estimaciones bastante fidedignas. Según he podido consultar, unos 22.000 granos de trigo pesarían aproximadamente un kilo, y supongamos también que disponemos de sacos que pueden almacenar 50 kilos, por lo que en cada uno de ellos cabrían 1.100.000 granos de trigo. Con la ayuda de una calculadora es fácil deducir que necesitaríamos 16.769.767.339.736 sacos de 50 kg, una cantidad que todavía nos cuesta visualizar, pero, sabiendo que estos sacos tienen una altura aproximada de un metro, esto quiere decir que, si apilásemos los sacos uno encima del otro, el total de sacos alcanzaría una altura de casi 17.000 millones de kilómetros. Para que os hagáis una idea de qué longitud representa, os diré que Neptuno, el planeta más alejado del Sol, se encuentra a unos 4.500 millones de kilómetros del astro rey, o sea, que nuestra pila de sacos de granos de trigo casi cuadruplicaría dicha distancia. Casi nada...
Y he aquí otra comparativa para maravillarse todavía más con esta cantidad tan bestial de granos de trigo. En 2016, la producción mundial de trigo fue de 730 millones de toneladas, mientras que el peso total del trigo que pidió el sirviente fue de más de 838.000 millones de toneladas, lo que quiere decir que el rey habría tardado más de 1.148 años en saldar su deuda. Bueno, en realidad serían unos cuantos años más, porque el resto del mundo tendría derecho a seguir consumiendo pan y otros alimentos derivados del trigo, aunque, de todas formas, ni el monarca ni su afortunado súbdito hubiesen podido vivir tanto tiempo para, respectivamente, cumplir su promesa y disfrutar de su recompensa.

Con esto termina la segunda entrada de esta serie sobre la potencia del 2 y su presencia en dos nuevos ejemplos, el de doblar varias veces una hoja de papel y el de la leyenda del tablero de ajedrez, que podemos explicar gracias a las matemáticas y a esta poderosa operación, y que sin ellas serían imposibles de imaginar y entender. Próximamente publicaré la tercera y última entrada con otros dos casos protagonizados por el 2 y sus sucesivas potencias.

Nota: este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta octagésima séptima edición, también denominada 11.1: "Desde casa", está organizado por Moni Alus a través de su blog El mundo en un chip.