El dólar tetraédrico

Lo prometido es deuda. En una de mis anteriores aportaciones al Carnaval de Matemáticas, recordaréis que os relaté la charla divulgativa que impartió Luis Balbuena Castellano en el Centro de Ciencia Principia, y dicha charla la comenzó con un pequeño experimento que os dije que seguramente os explicaría más detenidamente pasadas unas semanas. Pues bien, hoy es ese día, así que atentos y tomad buena nota que esto os va a gustar.
Los dólares estadounidenses guardan en su interior y de una forma muy sutil una pequeña sorpresa matemática que muy pocos conocerán: con ellos se puede construir un tetraedro perfecto. ¿Cómo es posible? Esto se debe a que el rectángulo de estos billetes tiene unas proporciones muy particulares que coinciden con las que tiene el desarrollo plano de un tetraedro, pero esto lo dejaremos para más adelante porque antes es mejor hacer paso a paso esta construcción geométrica.

El único material que vamos a necesitar es un dólar estadounidense. Probablemente la mayoría de vosotros no tendrá ninguno en casa, salvo que os haya sobrado alguno de algún viaje al país de las barras y las estrellas, así que basta con que busquéis uno por Internet y lo imprimáis con un tamaño considerable para que la manipulación sea más sencilla. Por cierto, no importa si el billete es de 1 dólar, o de 10 o de 50, ya que todos tienen la misma forma y, por lo tanto, todos son igualmente válidos para nuestro experimento. Yo voy a usar uno de 100 dólares que he imprimido para explicaros con la ayuda de algunas imágenes el procedimiento a seguir.

En primer lugar, doblad el billete por la mitad en paralelo al lado mayor del billete.

A continuación, dadle la vuelta al billete y llevad la esquina inferior izquierda al doblez central para formar un triángulo rectángulo cuyo cateto mayor sea el borde izquierdo del billete, tal y como se observa en la imagen superior.

Después, doblad el billete por el otro cateto para así obtener un triángulo equilátero.

Luego, haced un nuevo doblez sobre el lado derecho de dicho triángulo para obtener otro igual.

Seguidamente, doblad el triángulo rectángulo que sobra sobre el triángulo equilátero.
Por último, desplegad el billete y comprobad que con él podéis construir un tetraedro.

Si deshacemos todos los dobleces realizados y 'planchamos' de nuevo el billete, comprobaremos que éste se encuentra dividido en tres triángulos equiláteros y dos triángulos rectángulos que si se unieran formarían un cuarto triángulo equilátero, es decir, hemos conseguido el desarrollo plano de un tetraedro. Pero, ¿por qué sucede esto? La clave está en el segundo paso que os he descrito. Si os fijáis bien, en dicho paso hemos obtenido un triángulo rectángulo muy particular, ya que el cateto mayor tiene exactamente el doble de longitud que el cateto menor, por lo que los ángulos agudos de este triángulo miden 30 y 60 grados. Ésta es la razón por la cual hemos obtenido triángulos equiláteros en los pasos posteriores.
Lo único que nos queda por determinar en este experimento es la proporción que deben tener los lados del billete para que con él se pueda construir un tetraedro. Si le echáis un vistazo al billete, comprobaréis que su lado mayor es igual a la suma de dos lados de un triángulo equilátero, mientras que su lado menor coincide con la altura de éste. El valor de la altura puede ser expresado en función del lado del triángulo aplicando conceptos trigonométricos, como por ejemplo el del seno de 60º, lo que nos lleva a la conclusión de que la altura es igual a raíz(3)/2 veces el lado del triángulo. Así pues, si dividimos las longitudes del lado mayor y del lado menor del rectángulo obtenemos la proporción 4/raíz(3), que aproximadamente es igual a 2'31.
¿Qué conclusión podemos sacar de este experimento? Pues que los estadounidenses tuvieron mucha imaginación a la hora de diseñar los billetes de dólares. No estaría nada mal que los nuevos billetes de euros que está previsto que salgan a la circulación en los próximos años tuvieran también este curioso toque matemático, ¿o no?

Nota: este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta trigesimosegunda edición, también denominada 4.12, está organizado por el blog High Ability Dimension.

¡Habemus cuartos!

El Málaga sigue haciendo historia en la Champions League tras derrotar anoche por 2-0 al Oporto en un partido inolvidable que sirvió para remontar el 1-0 de la ida en tierras portuguesas.

No comenzó del todo bien el conjunto blanquiazul, ya que los primeros compases del encuentro fueron dominados por el Oporto, aunque sin una superioridad excesiva. Los portugueses, a pesar de ser el equipo que llevaba el peso del partido, apenas se acercaron a la portería defendida por Willy Caballero, ya que únicamente lo intentaron con disparos lejanos y sin mucha puntería. Poco a poco, el Málaga fue comiéndole terreno a su rival con más y más acercamientos. En el primero de ellos, Antunes aprovechó un rechace de un saque de esquina para enganchar un disparo desde la frontal que Helton tuvo que despejar a córner. A cinco minutos del descanso tuvo lugar la acción polémica del partido: gol mal anulado a Saviola por una presunta falta previa de Baptista dentro del área rival, lo cual encendió a la afición y, de paso, espoleó definitivamente a los locales. No tardó en llegar la alegría, ya que solamente dos minutos después Isco puso en pie a todo el estadio con un derechazo que se coló por toda la escuadra y que igualaba momentáneamente la eliminatoria (1-0). El árbitro italiano no estuvo del todo fino, pues no aplicó el mismo rasero a la hora de mostrar tarjetas a ambos conjuntos, y es que los portugueses se aplicaron con más dureza y con bastante más faltas que los malaguistas.

La segunda mitad no pudo empezar con mejor noticia para la parroquia local: segunda amarilla y expulsión de Defour. Ante esta situación, lo más conveniente para el Málaga era hacerse con el control total del esférico y buscar el momento oportuno para conseguir el segundo gol. No se equivocó el Málaga con dicho planteamiento, pues no tardó en encerrar al Oporto en su campo y en ir acumulando acciones peligrosas sobre la portería defendida por Helton. Lo intentaron sin suerte Saviola e Isco, pero tuvo que ser finalmente Santa Cruz, que había salido unos minutos antes en sustitución de Baptista, quien pusiera el segundo en el marcador tras cabecear al fondo de las mallas un córner botado por Isco (2-0). La Rosaleda se vino arriba, consciente de que bastaba con saber aguantar el marcador en los quince minutos restantes ante un rival con diez para certificar el pase a cuartos de final. El Oporto, como era de esperar, buscó el gol que necesitaban para llevarse la eliminatoria, y a punto estuvieron de conseguirlo, puesto que Maicon consiguió un gol cinco minutos después, pero fue anulado correctamente por estar en fuera de juego. El Málaga dispuso de dos o tres contragolpes en los que pensó más en mantener la posesión del balón que en finiquitar del todo el partido con un tercer tanto, pero no hizo falta más.

Sigue el sueño europeo de un Málaga que supo sobreponerse al resultado adverso que se trajo de Oporto para eliminar al campeón portugués, que recordemos que hace sólo un par de años ganó una Europa League. Así pues, el conjunto blanquiazul sigue firme en su primera participación en la Champions League, y ahora espera al sorteo de mañana para conocer al que será su rival de cuartos de final. Real Madrid, Barcelona, Bayern de Múnich, Borussia de Dortmund, PSG, Juventus y Galatasaray son las opciones. Que pase el siguiente y que siga la fiesta. ¡Vamos, Málaga!

No es mío, pero es interesante (LIV)

Nueva entrega de la sección 'No es mío, pero es interesante', en la que os recomiendo las entradas de otros blogs y webs que más me han interesado en las últimas semanas. Algunos blogs cuelan más de una aportación, como es el caso de Microsiervos, con nada más y nada menos que siete entradas. Como siempre, en la variedad está el gusto, ya que podréis encontrar matemáticas, ciencia, astronomía, curiosidades, humor, vídeos, etc.

Hagamos un repaso a la lista de hoy:

• Un resumen de carnaval (Edición 4.1).
• ¿Quién dijo que la cuadratura del círculo era imposible?
• Todas las fotografías posibles.
• Video del viernes: la Sagrada Familia.
• El meteorito de Cheliábinsk: es la onda expansiva, estúpido.
• ABCDEFGHIJKLM.
• Monedas + cerilla + vaso de plástico + globo = truco ganador.
• Siete consejos de sentido común relacionados con las contraseñas del ordenador.
• El sistema solar a escala en una ilustración.
• El mejor vídeo del paso del asteroide 2012 DA14.
• Movimiento de un feto humano de 24 semanas.
• Trestristestículos, atraparcamiento y espantorrilla.

¿Os han gustado las recomendaciones de la presente entrega? Espero que sí, y también espero que me lo hagáis saber a través de un comentario ;)

Adivina quién soy (XIX)

Retorna la sección 'Adivina quién soy', un juego en el que vuestra misión es encontrar qué conocido personaje se oculta tras las pistas que os iré dando cada día. Las personas que quieran participar deberán respetar las normas que se describen a continuación:

• Sólo se puede dar una respuesta por cada pista que se proporcione (las tres primeras pistas cuentan como si fueran una sola), es decir, no vale decir el nombre de dos o más personajes entre la pista 'X' y la 'X + 1'. Si alguien incumple esta norma, no se tendrán en cuenta sus posteriores intentos en dicha prueba, pero sí podrá participar en las posteriores.
• Si queréis una nueva pista, basta con que dejéis un comentario en el que intentéis adivinar el personaje, es decir, tendríais que decir algo como 'Creo que es Pepito Pérez'.
• Sólo proporcionaré una pista por día, por lo que si hoy dos personas propusiesen dos soluciones posibles, hoy os daría una pista y mañana otra.
• No se puede participar identificándose como 'Anónimo'. Toda respuesta que se dé con dicha identificación no será tenida en cuenta bajo ningún concepto.
• En el caso de que se lleguen a dar diez pistas, el plazo para responder terminará a las 23:59h del día siguiente al que se publicó la décima pista. Si nadie lo adivina, os daré la solución y la explicación de todas las pistas.

Una vez expuestas las reglas del juego, pasamos a las pistas:

1. Hombre.
2. Muerto.
3. Raro en su profesión.
4. Políglota.
5. Le gustaba jugar con monarcas.
6. Como el Madrid.

¡Mucha suerte a todos!

Un paseo matemático por los medios de comunicación

El pasado sábado por la mañana me pasé por el Centro de Ciencia Principia para asistir a la que probablemente ha sido la mejor charla divulgativa de matemáticas a la que he tenido la oportunidad de ir. Dicha charla se tituló 'Un paseo matemático por los medios de comunicación' y fue impartida por Raúl Ibáñez Torres, profesor titular de Geometría de la Universidad del País Vasco y director del portal divulgaMAT.

Como de costumbre, llegué con tiempo suficiente a Principia como para dar un paseo por la Sala Tomás Hormigo antes del otro paseo con el que poco después nos iba a deleitar Raúl Ibáñez, que precisamente también se encontraba por allí echándole un vistazo a los diferentes módulos que allí hay expuestos. En cuanto se permitió la entrada a la Sala Faraday, cogí asiento y esperé a que diera comienzo la charla, unos diez minutos después de las doce del mediodía. Uno de los responsables del museo presentó a Raúl, del que recitó parte de su currículum tanto como profesor como divulgador para cederle la palabra a continuación. A modo de introducción, Raúl nos contó que las matemáticas están muy presentes en los medios de comunicación, y es que es muy habitual toparse con gráficos, mapas, estadísticas, probabilidades, porcentajes y otros conceptos básicos de la materia tanto en periódicos, como en la televisión o en Internet. El problema es que a veces esos números o conceptos no son bien usados por los periodistas y comunicadores, como iba a demostrar durante el resto de la charla, la cual se podía dividir más o menos en tres partes (grandes números, porcentajes y probabilidad, y gráficas), aunque quizás no fue esa la intención del orador.

Raúl no pudo empezar con un mejor ejemplo, y al mismo tiempo tópico, para enganchar al público: los diferentes datos de participación en las manifestaciones que dan los periódicos según su posición política. Sin dar nombres, diré que una de las dos portadas mostraba una imagen con apenas dos manifestantes y con un claro mensaje de fracaso de la oposición, mientras que en la otra podíamos contemplar una vista aérea de las calles de Madrid a rebosar de gente quejándose por una reciente reforma. Luego continuó con varios ejemplos de números grandes que solemos leer en la prensa, pero de los que realmente no somos capaces de valorar su magnitud si no los comparamos con otras cantidades más cotidianas; por ejemplo, se basó en un videojuego que costó 9 millones de euros para deducir que eso equivalía a unos 700 Renault Clio o a lo que costarían unos 30 pisos en Bilbao. Después pasó a desgranar los números que se utilizaron en ciertas noticias sobre la cantidad de gitanos que hay en el mundo (más de la población total), las personas que acudieron al funeral de Lola Flores (¡nueve por segundo!) o lo rápidos que son Bush y Aznar corriendo (¡nuestro ex-presidente es más rápido que el guepardo!).

Como he dicho, la siguiente parte de la presentación que preparó Raúl la podríamos denominar como 'Porcentajes y probabilidad'. En la primera noticia que expuso, se afirmaba algo así como que las horas con más accidentes y muertes por tráfico tienen lugar de 7:00 a 20:00 creo recordar, lo cual no debería sorprendernos porque son precisamente las horas a las que solemos conducir, por lo que el dato no aportaba nada realmente. Lo mismo ocurre con una campaña de una ONG que denunciaba que un tercio de las personas que mueren en desastres naturales son niños, pero este dato tan impactante no debería chocarnos tanto si nos damos cuenta de que aproximadamente una de cada tres personas que pueblan el planeta son menores de edad. Seguidamente, nos presentó otra noticia que en primer lugar afirmaba que solamente uno de cada mil alpinistas son mujeres, cuando resulta que más adelante en la misma noticia se da como dato que cinco de las doscientas personas que escalaron un ochomil en tal año fueron mujeres, es decir, que una información no parece casar con la otra. Siguió con otro ejemplo típico, el de los porcentajes de la probabilidad de lluvia los fines de semana, y es que un 50% para el sábado y un 50% para el domingo no se debe interpretar como que es seguro que lloverá, y tampoco lo contrario.

Pasamos finalmente a la última sección de la charla, que se componía principalmente de gráficos. La primera noticia que comentó al respecto hablaba sobre los accidentes de tráfico que se dan en la ciudad y de que la mayoría de las veces el culpable es el peatón; pues bien, resulta que ninguno de los gráficos adjuntos afirmaba nada sobre ello, y además daba como dato que casi todos los accidentes tienen lugar de siete de la mañana a dos de la tarde, y qué casualidad que a esas horas entran y salen los niños de los colegios, se reparten mercancías, etc., es decir, nada extraño. En la misma noticia, se afirmaba además que el 85% de los conductores implicados en estos accidentes eran hombres, y eso podría llevarnos a pensar que nosotros no sabemos conducir; sin embargo, lo que ocurre es que precisamente es ése el porcentaje de conductores varones que hay en España, según una sencilla comprobación experimental que llevó a cabo el propio Raúl en la ciudad en la que reside. A continuación, nos mostró una imagen que había utilizado una conocida emisora de radio para comparar su número de oyentes con los de la competencia haciendo uso de unos castillos de arena cuyos tamaños para nada estaban proporcionados a los datos que representaban. Lo mismo ocurría con un canal de televisión, para el cual una diferencia de menos de un 1% de audiencia equivalía en un histograma a la mitad de su correspondiente barra. Otro ejemplo conocido es el que protagonizó Rajoy en uno de sus debates electorales al mostrar un gráfico de barras cuyos valores representados tampoco eran acordes a la longitud de aquéllas, con el fin obviamente de hacer ver a los españoles que la oposición lo hacía peor que ellos. La última noticia que comentó fue la del gráfico a modo de hemiciclo para mostrar la distribución de los escaños tras las elecciones generales de 2008. Según qué periódico, el tamaño asociado a cada partido variaba, eso sí, casi nunca en consonancia con la proporción correcta.

Con este ejemplo, Raúl Ibáñez dio por terminada su presentación con los aplausos de público, aunque realmente tenía preparadas más noticias, ya que tuvo que tirar de algunas de ellas para responder a las diversas cuestiones que le plantearon algunos de los asistentes a la charla. Recuerdo que mencionó la ley de Benford, que incluso llegó a ser utilizado en varios juicios como prueba matemática para demostrar que cierta persona había estafado a otra. Finalmente, el conferenciante fue obsequiado con el típico regalo de Principia: un rodillo antigravitatorio en miniatura.

Pues así fue esta charla tan amena y que tanto disfruté, y de la que también aprendí mucho más de lo que me podía imaginar. Sinceramente, me hubiera gustado que Raúl hubiera expuesto todo lo que tenía preparado, pero entiendo que había unos horarios que cumplir. Eso sí, lo que me quedó claro a partir de ese día es que ahora voy a leer con otros ojos las noticias de la prensa.

Nota: este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta trigesimoprimera edición, también denominada 4.1, está organizado por José Antonio Prado-Bassas, el creador de dicho evento, a través de su blog Tito Eliatron Dixit.

Vía Crucis de la Agrupación de Cofradías 2013

Tal y como viene siendo habitual en los últimos años, ayer tuvo lugar como cada primer viernes de Cuaresma el Vía Crucis de la Agrupación de Cofradías de Semana Santa de Málaga, que en este año 2013 ha estado presidido por la imagen de Nuestro Padre Jesús de la Puente del Cedrón, titular cristífero de la Hermandad de la Paloma, y que fue elegido para dicho evento porque este año se cumplen 25 años de la bendición de la actual imagen.

Al contrario que en los últimos años, esta vez el cortejo no partió de la Iglesia de San Julián, sede de la Agrupación de Cofradías, sino de la Capilla de la Paloma, donde recibe culto el Señor de la Puente, que casualmente se encuentra a muy pocos metros. La hora de comienzo sí que no cambió, las 19:15, cuando salió la cruz guía de la Agrupación flanqueada por dos faroles; detrás, dos filas de hermanos tanto de la propia cofradía como del resto de la Semana Santa de Málaga, así como el guión de la hermandad y la Junta de Gobierno de la Agrupación, en la que se estrenaba Eduardo Pastor como presidente tras las elecciones del pasado año.

La talla de Jesús de la Puente fue llevada en un trono cedido por la Hermandad de la Pasión, mientras que también cabe destacar la túnica que vestía, recién restaurada para la ocasión, y es que data del siglo XVIII. La procesión discurrió por la Plaza de San Francisco, Carretería, Nosquera, Comedias, Plaza de los Santos Mártires, Santa Lucía, Granada, Plaza del Carbón, Plaza del Siglo, Duque de la Victoria, San Agustín, Císter y Patio de los Naranjos. La imagen, que en este trayecto de ida estuvo acompañado por la Capilla Musical Virgen de la Caridad, entró en la Catedral a las nueve menos cuarto, siendo recibido por el obispo Jesús Catalá para llevar a cabo el rezo de las estaciones del Vía Crucis.

Dicho acto se alargó más de la cuenta, ya que el trono abandonó las naves catedralicias pasadas las diez y diez de la noche, casi media hora después de lo previsto. En el camino de regreso, fue la Agrupación Musical San Lorenzo Mártir la que puso las notas musicales como acompañamiento del trono de Nuestro Padre Jesús de la Puente del Cedrón, que 'caminó' por el Patio de los Naranjos, Císter, San Agustín, Echegaray, Granada, Plaza del Siglo, Plaza del Carbón, Granada, Santa Lucía, Plaza de los Santos Mártires, Comedias, Nosquera, Carretería y Plaza de San Francisco para encerrarse definitivamente en su capilla cerca de la medianoche.

No es mío, pero es interesante (LIII)

Como casi cada mes, se nos presenta una nueva entrega de 'No es mío, pero es interesante', una sección en la que os recomiendo las entradas de otros blogs y webs que más me han interesado en las últimas semanas. Algunos de dichos blogs aparecen de forma múltiple por la gran calidad de sus contenidos, como son los casos de Microsiervos, WTF Microsiervos, Mangas Verdes o el Blog de Luis Piedrahita, con cinco, dos, dos y dos aportaciones respectivamente. Y como siempre, un poquito de todo: matemáticas, ciencia, astronomía, curiosidades, humor, vídeos, etc.

Repasemos pues la lista de recomendaciones de esta entrega:

• Resumen de la Edición 3.1415926535 del Carnaval de Matemáticas.
• Lo que se preguntan mis alumnos de 3º ESO (III).
• El Sol del pasado.
• El curioso y aparentemente imposible equilibrio de una pelota sobre una especie de silla de montar giratoria.
• Vídeo del viernes: Luna llena y siluetas.
• Las curiosas esculturas de papel de Li Hongbo.
• Afeando famosos mediante una ilusión óptica.
• 'Landscapes: Volume 3': time-lapse en estado puro.
• 'Namibian nights', una obra de arte en time-lapse.
• Un diccionario de español "moo e when o".
• El hombre que era tan rápido como el Metro.
• Top 3 de malas artes de los restaurantes.
• Móviles.
• Resayunar, semisfriado y escribicionismo.
• Temblojo, atollavero y mierdodoncia.

¿Os han gustado las recomendaciones de hoy? Ojalá que sí, y que también que me lo hagáis saber a través de un comentario ;)