El juego de las 20 monedas

Por todos los profesores es sabido que las horas de guardia en las que tenemos que sustituir a un compañero que no ha podido ir ese día a trabajar por algún motivo son de las más temidas, y es que tener que vigilar a un grupo de alumnos a los que solamente conoces de cruzártelos por los pasillos y que se toma esa clase como una hora libre no es lo que más nos gusta a los docentes, por más que ese profesor haya dejado tarea y se le diga a los alumnos que tienen que hacerla, que el profesor la va a recoger el próximo día o que cuenta para nota. Uno va a esas clases rezando por que al menos los alumnos no monten demasiado alboroto y que la hora se pase lo más rápido posible para que llegue la siguiente y pueda hacer lo que realmente le gusta, que es dar clase, en mi caso de Matemáticas.

Lo ideal es que los alumnos aprovechen esa hora para aprender, que para algo están en un centro educativo, bien sea realizando las actividades que haya mandado el profesor al que se está sustituyendo, dando un último repaso para el examen que tengan más tarde, adelantando los deberes de otras materias, o, por qué no, jugando. Esto es precisamente lo que yo intento cuando me toca cubrir a un compañero que ha faltado, porque también se puede aprender a través de un juego, y si es de Matemáticas mucho mejor. Cada vez que recurro a un juego, casi todos los alumnos (por desgracia, no siempre todos) empiezan a prestar atención y no dudan en participar, sobre todo cuando les reto a que me ganen, porque eso de vencer a un profesor es algo realmente motivador para un adolescente. Es por ello que se me ha ocurrido compartir con vosotros uno de esos juegos que les propongo por si no lo conocéis (no lo he inventado yo, lo descubrí hace varios años) y queréis usarlo en una de esas eternas horas de guardia.
Lo he llamado 'El juego de las 20 monedas', pero en vez de monedas podría haber dicho fichas, bolas, palillos o cualquier otro objeto, eso no afecta a la sencilla mecánica de este juego para dos personas, que es el siguiente:

• Se disponen 20 monedas en una mesa (no hace falta que estén ordenadas de ninguna forma en particular).
• En cada turno, cada jugador puede retirar una, dos o tres monedas.
• Gana el jugador que retira la última moneda.

Cuando juego en clase, en vez de sacar 20 monedas, lo que hago es dibujar 20 círculos en la pizarra, y, en vez de retirar monedas, lo que hago es tachar o borrar esos círculos. En cualquier caso, independientemente del material utilizado, si los dos jugadores juegan perfecto, ¿quién gana: el primer o el segundo jugador? ¿Y cuál es la estrategia ganadora de este juego? A priori puede parecer difícil responder a estas dos preguntas, pero en realidad no es tan complicado averiguar qué movimiento hay que hacer en cada turno o qué jugador tiene ventaja en función de si es el que comienza la partida o si es el segundo. Antes de desvelarte qué hay que hacer para ganar, te dejo unos minutos para que juegues unas cuantas partidas, a ver si consigues darte cuenta de dónde está el truco.

La clave está en razonar la partida desde el final. Es evidente que, si en la última jugada quedan una, dos o tres monedas, el jugador que tenga el turno gana el juego (recuerdo que estamos suponiendo que ambos jugadores juegan con la mejor estrategia posible para ganar). Ahora bien, ¿cuántas monedas había en la jugada previa? Veamos los casos posibles:

• Una moneda en la última jugada: en la jugada previa solamente podría haber dos (se ha retirado una moneda), tres (se han retirado dos) o cuatro monedas (se han retirado tres). Si hubiese dos, en dicho turno el otro jugador habría retirado todas las monedas y habría ganado, luego esta jugada no se ha dado. Lo mismo ocurre si hubiese tres, puesto que el otro jugador habría retirado las tres para ganar. Así pues, si en la última jugada queda una moneda es porque en la jugada anterior había cuatro y se han retirado tres.
• Dos monedas en la última jugada: en la jugada previa solamente podría haber tres (se ha retirado una moneda), cuatro (se han retirado dos) o cinco monedas (se han retirado tres). Si hubiese tres, en dicho turno el otro jugador habría retirado todas las monedas y habría ganado, luego esta jugada no se ha dado. Si hubiese cinco, el otro jugador habría retirado solamente una para dejar cuatro y asegurarse ganar en su siguiente turno. Así pues, si en la última jugada quedan dos monedas es porque en la jugada anterior había cuatro y se han retirado dos.
• Tres monedas en la última jugada: en la jugada previa solamente podría haber cuatro (se ha retirado una moneda), cinco (se han retirado dos) o seis monedas (se han retirado tres). Si hubiese cinco, en dicho turno el otro jugador habría retirado solamente una moneda para dejar cuatro y asegurarse ganar en su siguiente turno, luego esta jugada no se ha dado. Lo mismo ocurre si hubiese seis, puesto que el otro jugador habría retirado dos para ganar en su siguiente turno. Así pues, si en la última jugada quedan tres monedas es porque en la jugada anterior había cuatro y se ha retirado una.

Del análisis anterior se deduce que el jugador que va a ganar tiene que dejar cuatro monedas en su penúltimo turno para asegurarse la victoria, para lo cual necesita dejar ocho en su antepenúltimo turno, y doce en el turno anterior, y así sucesivamente hasta las veinte monedas iniciales. Por lo tanto, tiene estrategia ganadora la persona que juega en segundo lugar, por lo que perderá la que empiece la partida. ¿Y en qué consiste exactamente dicha estrategia ganadora? Pues muy fácil: el segundo jugador tiene que retirar el complemento a 4 de monedas de su contrincante. ¿Cómo? ¿Qué es eso de complemento a 4? Consiste en retirar una moneda si el primer jugador ha retirado tres; dos si el primer jugador ha retirado dos; y tres si el primer jugador ha retirado una. De esta forma, cada dos turnos (uno de cada jugador) siempre queda sobre la mesa (o en la pizarra) un número de monedas múltiplo de 4, por lo que el segundo jugador ganará la partida.

En la imagen anterior se puede ver un ejemplo de partida entre dos jugadores: el rojo, que empieza y retira monedas en los turnos impares (1, 3, 5, 7 y 9); y el azul, el segundo en jugar y que, por lo tanto, retira monedas en los turnos pares (2, 4, 6, 8 y 10). En el primer turno, el rojo retira una moneda; luego, el azul retira tres, dejando 16 monedas; después, el rojo, retira dos monedas; le sigue el azul quitando otras dos para dejar 12 monedas; y así continúa la partida hasta que el azul retira la última moneda, ganando la partida.
Mi experiencia con los alumnos es bastante satisfactoria. Primero convenzo a uno para que juegue contra mí, y cortésmente le doy la 'ventaja' de empezar para que crea que así tiene más posibilidades de ganar, cuando en realidad es todo lo contrario, y claro, gano yo. Los demás alumnos se animan a enfrentarse a mí con la esperanza de ganarme y poder presumir de ello, pero fracasan; no obstante, después de ganar tres o cuatro partidas ya hay alumnos que empiezan a pensar que hay algún truco en el juego y se ponen a analizar las partidas que voy jugando. Hay quien incluso me pide que empiece yo, ofrecimiento que acepto para que no parezca que ahí está una de las claves de la victoria, pero entonces me veo obligado a esperar el primer fallo de mi contrincante para dejar un número de monedas (círculos en la pizarra) que sea múltiplo de 4 y recobrar la ventaja para ganar. No siempre, pero alguna que otra vez ha habido algún alumno que ha encontrado la estrategia ganadora y me ha vencido, lógicamente tras obligarme a empezar para que él se asegure la victoria.
¿Qué pasa si el número de monedas iniciales es distinto de 20? ¿Y si se puede retirar otra cantidad de monedas, cuatro por ejemplo? ¿Cuál es entonces la estrategia ganadora? ¿Y quién gana: el primer o el segundo jugador? Estas nuevas variantes del juego os toca a vosotros analizarlas, que ya me he enrollado demasiado, y así le dais vueltas al coco (podéis explicar en los comentarios cómo habría que jugar para ganar, y ya os confirmo si estáis en lo cierto o no), que es de lo que se trata. Precisamente eso es lo que intento, y a veces consigo, hacer con mis alumnos para que las horas de guardia no sean eternas, sino productivas y amenas, y encima haciendo matemáticas.

Nota: este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta octagésima quinta edición, también denominada X.5: Número de Sierpinski, está organizado por Miguel Ángel Morales Medina a través de su blog Gaussianos.

Doce años que se han pasado volando

Recuerdo aquel 18 de octubre de 2007 como si hubiese sido ayer. Llevaba ya varios días planteándome la posibilidad de crear un blog propio después de haber tenido la experiencia de compartir uno con varios compañeros de la carrera, y esa mañana me atreví a dar ese paso y publicar la primera entrada de un blog al que le puse un nombre tan simple como 'El mundo de Rafalillo'. Pues bien, como supongo que habéis podido deducir, mi blog celebra hoy su duodécimo cumpleaños, más de los que pensaba por entonces, y todo apunta a que serán bastantes menos los años que le quedan por cumplir.

Echo mucho de menos aquellos tiempos en los que publicaba entradas cada dos o tres días, recibía comentarios casi a diario y se incrementaba gradualmente el número de visitas. ¡Qué bonitos fueron esos primeros años! Y qué tristes están siendo estos últimos. Siempre he dicho que mi intención era alargar al máximo la vida de 'El mundo de Rafalillo', pero cada vez me cuesta más tenerlo medianamente actualizado, y es que ni tan siquiera consigo publicar un post por semana, que es lo mínimo que debería exigirme, por lo que supongo que el final está más cerca de lo que creía. El blog apenas mantiene contadas secciones habituales, las mismas de los últimos años, que son las de 'No es mío, pero es interesante', las colaboraciones para el 'Carnaval de Matemáticas', las críticas de los libros que leo, los relatos de los viajes que hago (todavía tengo pendiente terminar uno y contar otros tres) y los resúmenes de las procesiones de Semana Santa y extraordinarias a las que voy. Y paro de contar, no hay mucho más. Nada que ver con la variedad de contenidos de antaño.

Lo que no cambia es el habitual resumen estadístico de lo que ha dado de sí el blog en los últimos doce meses:

• 40 entradas publicadas (las mismas que el año anterior), lo que depara una media de 3 o 4 entradas al mes.
• 33 comentarios, un 44 % menos que el año anterior, y que representa algo menos de un comentario por cada entrada publicada.
• Unas 12.400 visitas recibidas, es decir, un 26 % más que hace un año. Esto supone una media de unas 34 visitas diarias.
• Las visitas proceden de 79 países diferentes de los cinco continentes. Casi la mitad de los visitantes son de España, mientras que los demás lo hacen principalmente desde Latinoamérica (México, Colombia, Argentina, Perú, Chile, Ecuador...) y Estados Unidos.
• La duración media de las visitas sube hasta los 52 segundos, uno más que el año anterior.
• El blog ha sido visualizado unas 15.000 veces, un 23 % más que el año anterior. Son 639 las diferentes páginas que se han visualizado, siendo la de Un escape room en la clase de Matemáticas la más visitada.
• El blog tiene 59 suscriptores (un 9 % más que el año pasado) y 58 seguidores (los mismos que hace un año).

De forma inesperada, las estadísticas del blog, aunque ni por asomo se parecen a las de su mejor época, mejoran sustancialmente las del año anterior, y eso que en los últimos años se había observado un empeoramiento gradual, por lo que al menos me llevo una alegría en este aniversario. Como dije al principio, el final del blog está cada vez más cerca, pero tranquilos que todavía no he dicho la última palabra. En principio, mi idea es llegar a las 1.000 entradas publicadas, así que, teniendo en cuenta el ritmo actual y que ya son más de 900 las que ya he publicado, todo apunta a que 'El mundo de Rafalillo' celebrará al menos dos cumpleaños más. No me olvido de dos viejos proyectos blogueros, uno que sigue sin consumarse (el de temática cofrade) y otro que está en pausa (el de Flipeando las Matemáticas), aunque no sé si algún día los retomaré.
En fin, como de costumbre, tengo que terminar esta entrada agradeciendo a todos los que todavía os pasáis por 'El mundo de Rafalillo' que dediquéis algunos minutos de vuestras vidas a mi blog, que, si bien no tiene mucho que ofrecer, parece que algo de interés sí que despierta en ciertos lectores. Si todo va bien, en un año volveremos a soplar las velas.
¡Muchas gracias a todos!

No es mío, pero es interesante (CXXX)

Ya tenemos aquí una nueva entrega de 'No es mío, pero es interesante', una sección en la que os recomiendo las entradas de otros blogs y webs que más me han gustado en las últimas semanas. Para variar, Microsiervos vuelve a acaparar buena parte de las recomendaciones con seis aportaciones. Lo que tampoco cambia es la diversidad de contenidos: matemáticas, ciencia, astronomía, curiosidades, vídeos, etc.

Echémosle un vistazo a la lista de enlaces de esta entrega:

• Resumen de entradas del Carnaval de Matemáticas Año X Edición 4 #CarnaMatX4.
• Los conceptos detrás de Infinite Patterns.
• Una visualización de cómo se reordenan los naipes en diferentes tipos de mezclas.
• El descubrimiento de 20 nuevas lunas de Saturno lo convierte en el planeta con más satélites del sistema solar.
• Un material más negro que la negrura misma.
• Los efectos de un imán gigante de neodimio junto a otras 1.000 bolitas de neodimio.
• Cómo se fabrican los lápices Faber-Castell.
• Las erratas al teclear desvelan muchas cosas sobre los tipos de memoria con los que realizamos esa simple tarea.
• ¿Con qué sueñan los pulpos?
• Una docena de cosas que quizás no sabías cómo se llamaban [14].

¿Os han gustado las recomendaciones de esta entrega? Espero que sí y que me lo hagáis saber a través de un comentario ;)

La Humildad procesiona en su 325 aniversario fundacional

La Hermandad de la Humildad procesionó ayer de forma extraordinaria al Santísimo Cristo de la Humildad en Su Presentación al Pueblo (Ecce-Homo) para conmemorar los 325 años de la fundación de la corporación victoriana.

El viernes por la tarde tuvo lugar el traslado del Cristo de la Humildad desde el Real Santuario de la Victoria a la Catedral, para lo cual la imagen fue llevada en el trono que utiliza María Santísima del Rocío en su procesión de Pentecostés. El Señor recuperó la estampa clásica de sus primeros años, al procesionar solo con su túnica burdeos sobre un monte de claveles rojos y con el acompañamiento de una banda de música, que corrió a cargo de la Unión Musical Maestro Eloy García; en dicho traslado, el cortejo recorrió el barrio de Lagunillas antes de adentrarse en el casco histórico y llegar al primer templo de la ciudad. En la mañana de ayer sábado, el obispo Jesús Catalá presidió la solemne misa estacional que se celebró en la Catedral con motivo del 325 aniversario fundacional de la hermandad, pues sus orígenes se remontan al año 1694, si bien la corporación actual es más reciente, ya que se reorganizó en 1978 tras la destrucción de las imágenes en los sucesos de 1931.

A las seis de la tarde dio comienzo la procesión triunfal con un cortejo encabezado por la cruz guía de la hermandad flanqueado por dos faroles, seguido por los guiones de varias cofradías victorianas y del Domingo de Ramos, dos hileras de hermanos portando cirios, el guión de la hermandad, la presidencia y los acólitos. El Santísimo Cristo de la Humildad procesionó en su trono con el grupo escultórico al completo y con dos importantes novedades: una de ellas fue que la imagen vistió una nueva clámide de terciopelo burdeos bordada en oro, mientras que la que más impacto causó fue la inclusión de una barandilla en la delantera del trono para recrear el balcón de Pilatos. En el apartado musical, la imagen, al igual que cada Domingo de Ramos, estuvo acompañada por la Banda de Cornetas y Tambores del Paso y la Esperanza, que volvió a dejar numerosas muestras de su gran calidad interpretativa.

El cortejo, que estuvo muy arropado por el público en todo momento, discurrió por un largo itinerario compuesto por calles propias de su recorrido de Semana Santa (Molina Lario, plaza del Obispo, plaza de la Constitución, Granada, Victoria, etc.), otras recuperadas de años anteriores (Nueva, Santa Lucía, Comedias, etc.) y otras inéditas, como por ejemplo Strachan y Liborio García en el centro de la ciudad o las estrechas Merced, Huerto del Conde y Coto de Doñana en su barrio de la Victoria. De esta forma, el Señor de la Humildad pudo pasar ante las tres sedes canónicas que ha tenido la hermandad, que son el tristemente desaparecido Convento de la Merced, la iglesia de Santiago y la actual sede del Real Santuario de la Victoria, templo en el que se encerró la procesión poco antes de las tres de la madrugada.