Cuadrados en el cuadrado

Hace un par de cursos, en mi afán por divulgar las matemáticas a los alumnos y animarles a que profundicen un poco más en ellas si les pica la curiosidad, decidí dar de octubre a marzo una clase semanal en el recreo a los alumnos de 2º ESO que quisieran presentarse a la Olimpiada Matemática Thales, e igualmente de marzo a junio a los alumnos de 1º ESO para el Proyecto ESTALMAT, para trabajar problemas de ediciones anteriores de estas pruebas, ya que no son precisamente los que están acostumbrados a resolver cada día en la materia de Matemáticas. Sí, necesitan conocer las fracciones, las figuras geométricas, los porcentajes y el lenguaje algebraico, entre otras cosas, pero los problemas de la Olimpiada y de ESTALMAT requieren de algo más, principalmente de un cierto nivel de razonamiento y de abstracción, así como de saber dividir un problema en varias partes para resolverlas por separado y luego combinarlas. Por desgracia, todo esto se trabaja cada vez menos en nuestra materia (hay varios motivos que lo justifican), y es por eso que me animé a dar este paso con más o menos aceptación entre los alumnos de mi instituto.

El curso pasado, justamente cuando pretendía dar comienzo a estas clases preparatorias para los alumnos de 1º ESO, llegó la pandemia del coronavirus. Se cortaron las clases presenciales, la Olimpiada Matemática Thales de 2º ESO que se iba a celebrar el sábado 14 de marzo se aplazó en un primer momento para semanas después ser suspendida definitivamente, y la prueba de selección del Proyecto ESTALMAT se aplazó al mes de septiembre (a día de hoy se espera que se pueda realizar el próximo mes de enero). A pesar de todos estos inconvenientes, en junio me puse en contacto con algunos de mis alumnos de 1º ESO que estaban interesados en presentarse a la prueba para proponerles sustituir esas clases semanales presenciales en el recreo por clases semanales online durante los meses de junio y julio, a lo cual aceptaron gustosamente siete alumnos que vieron con buenos ojos hacer un poco de matemáticas de forma voluntaria e incluso ya de vacaciones.

La mecánica era muy simple: les daba un problema que debían resolver de manera individual (les decía que le dedicasen no más de media hora) en una plazo de una semana para posteriormente poner en común todas las soluciones en la siguiente clase online, tras la cual le proponía un nuevo problema para la siguiente semana, y así sucesivamente. Pues bien, Alejandro, uno de mis alumnos, encontró para uno de esos problemas una solución distinta a la mía e igualmente correcta, pero la suya me gustaba más; sin embargo, a pesar de la sencillez y elegancia de su solución, no lograba entender cómo había llegado a ella sabiendo yo lo que él sabía y había aprendido hasta entonces. Él mismo me reconoció que la respuesta la descubrió por pura casualidad, es decir, que no entendía por qué se podía resolver de esa forma, y yo tampoco, ya que me empeciné en pensar como él habría pensado, como un alumno de 12 años, hasta que finalmente se lo comenté a Alfonso, uno de mis compañeros de departamento, quien, con la mente un poco más abierta, me hizo ver por qué dicha solución funcionaba.

Se me ocurrió entonces que sería buena idea compartir con los amantes de las matemáticas este problema del que os hablo y sus posibles soluciones, tanto la que yo había encontrado en su momento como la que halló mi alumno Alejandro y que luego razonó y demostró mi compañero Alfonso. Así pues, empecemos desde el principio, es decir, con el enunciado del problema, que es el siguiente:

 

Tenemos un tablero cuadrado y en cada casilla anotamos un número siguiendo estas instrucciones: el número que escribimos es el menor de los números que indican la fila y la columna de la casilla. La figura que tienes a continuación te da un ejemplo en el caso de un tablero 3 x 3.

Tenemos un tablero cuadrado de 5 x 5 (25 casillas). ¿Cuál será la suma de todos los números una vez que hayamos rellenado todo el tablero con la condición que se ha indicado? Explica una manera de calcular la suma anterior sin necesidad de sumar uno a uno todos los números.

 

Como podéis comprobar, el problema no entraña demasiada dificultad, de hecho creo recordar que todos los alumnos lo resolvieron correctamente, salvo alguno que otro por un fallo de cálculo sin importancia, y de la misma forma que yo, concretamente la siguiente:

Del tablero se deduce que los números del 1 al 5 aparecen un número impar de veces, de tal manera que el 1 hay que sumarlo 9 veces (el quinto número impar); el 2, 7 veces (el cuarto número impar); el 3, 5 veces (el tercer número impar); el 4, 3 veces (el segundo número impar); y el 5, una vez (el primer número impar). Por lo tanto, el problema se reduce a emparejar los números del 1 al 5 con los 5 primeros números impares ordenados de mayor a menor para a continuación multiplicar cada pareja obtenida y finalmente sumar los resultados de dichos productos. Este razonamiento se puede aplicar a cualquier tablero cuadrado de tamaño N x N, pues la suma total sería la siguiente:

La sorpresa me llegó cuando mi alumno Alejandro resolvió este problema de dos formas. La primera era la que yo y el resto de compañeros habíamos seguido, mientras que la segunda, que daba el mismo resultado, era la siguiente:

Su solución era a primera vista más sencilla y elegante que la mía, pues consistía simplemente en sumar los cuadrados de los números del 1 al 5, pero no aportaba una explicación razonada de por qué se podía resolver así, y yo tampoco conseguía deducirla, no lograba encontrar una conexión entre esa suma de cuadrados y lo que pedía el problema, más allá de la coincidencia de que tanto los cálculos (desde el punto de vista numérico) como la forma del tablero (desde el punto de vista geométrico) estaban basados en cuadrados, y es que por algo comparten nombre (25 es 5 al cuadrado porque se pueden disponer 25 elementos en un cuadrado de 5 filas y 5 columnas).

Entre que a veces me cuesta encontrar una solución diferente a un problema cuando ya he encontrado una y que intentaba justificar la solución de mi alumno partiendo de los conocimientos que él tenía, no conseguí encontrar una explicación de por qué se podía resolver de esta forma, así que se lo comenté a Alfonso, uno de mis compañeros de departamento, a ver si él era capaz de dar con la tecla. Lo consiguió demostrar gracias a que supo mirar el tablero de una forma distinta a como yo lo hacía. En mi caso, yo separaba el tablero en partes compuestas de un único número, tal y como se puede observar en el tablero 5 x 5 que hay arriba, mientras que él lo separaba en partes como las que se muestran en el siguiente tablero 5 x 5:

Cada L invertida se compone de la sucesión ascendente y descendente de los números del 1 al N, de tal manera que todos los números aparecen dos veces, a excepción del número N, que solamente aparece una vez. Así pues, la suma desde el 1 hasta el 5 y luego hasta el 1 sería la siguiente:

Generalizando esta suma para cualquier valor de N se deduce fácilmente que siempre se obtiene el cuadrado del número N:

Con esta justificación algebraica se demuestra por lo tanto que la suma de todos los números de un tablero N x N es igual que la suma de los cuadrados de los N primeros números naturales, una solución que, bajo mi punto de vista, es al mismo tiempo elegante y curiosa teniendo en cuenta la forma tan simple con la que se rellenan las casillas del tablero.

Mi compañero Alfonso, no conforme con una demostración algebraica, también encontró una demostración geométrica de por qué esa suma ascendente y descendente desde 1 hasta N es igual al cuadrado de N, y para ello basta con observar el tablero de la siguiente manera:

Ahora conviene fijarse en que los números que componen cada L invertida indican cuántas casillas hay en su misma diagonal, considerando la diagonal que va desde cada número hacia arriba a la izquierda, por lo que la suma de todas las casillas es igual evidentemente al cuadrado del número mayor, en este caso, al cuadrado de 5; así pues, repitiendo este razonamiento para cada L invertida del tablero, se obtiene que la suma de los números de todas las casillas es igual que la suma de los cuadrados de los N primeros números naturales.

A raíz de esta demostración geométrica de mi compañero, caí en la cuenta de que también se puede demostrar que los números que componen cada L invertida es igual que el cuadrado del mayor número que aparece en dicha L, y es a partir de los números triangulares, tal y como se deduce de la siguiente imagen:

En esta ocasión, de nuevo tomando como ejemplo el caso de N = 5, observamos que el tablero se puede dividir en dos partes que son el cuarto (en rojo) y el quinto (en azul) número triangular, pues cada uno de ellos son, respectivamente, la suma desde el 1 hasta el 4 y la suma desde el 1 hasta el 5 (al igual que antes, cada número indica cuántas casillas hay en su misma diagonal), y la suma de dos números triangulares consecutivos siempre es igual a un cuadrado perfecto, tal y como se puede ver a continuación para el caso de N = 5 y para cualquier número N:

Por lo tanto, sea con una demostración o con otra, podemos concluir que la suma de todos los números de un tablero N x N cuyas casillas se han rellenado con el menor de los números que indican la fila y la columna de cada casilla es igual a la siguiente expresión:

Pues todo esto fue lo que dio de sí un problema sin aparente importancia que propuse a mis alumnos, pero que al final derivó en la solución que encontró por casualidad uno de ellos sin saber por qué se podía resolver así y, posteriormente, en la indagación de uno de mis compañeros de departamento hasta dar con dos demostraciones de dicha solución, y luego una tercera por mi parte. En fin, quien diga que las matemáticas son aburridas es porque no es capaz de admirar la belleza de curiosidades como éstas.

Nota: este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta nonagésima segunda edición, también denominada 11.6: Conjeturas, está organizado por Miguel Ángel Morales Medina a través de su blog Gaussianos.