La paradoja del cumpleaños siempre se cumple

El pasado 10 de noviembre fue mi cumpleaños (si no me habéis felicitado, tranquilos, que no os voy a guardar rencor), así que he pensado que hoy es un buen momento para hablaros de la paradoja del cumpleaños, probablemente una de las más conocidas y curiosas de las matemáticas, sobre todo por su fácil explicación y por lo sorprendente de sus resultados.
Os formulo la siguiente pregunta: ¿qué probabilidad hay de que en una habitación con 30 personas dos de ellas celebren su cumpleaños el mismo día? Mientras pensáis vuestra respuesta, yo os voy a ir explicando poco a poco cómo se obtiene dicha probabilidad, pero antes de empezar es necesario que hagamos un par de suposiciones para simplificar los cálculos:

1. Un año tiene 365 días (obviamos los bisiestos).
2. La probabilidad de nacer un día u otro es la misma (en realidad, cada día no nace exactamente el mismo número de personas, pero es similar).

Ahora sí, entramos en materia, pero lo que voy a hacer primero es calcular cuál es la probabilidad de que esas 30 personas cumplan años en días diferentes. Hemos comentado que es igual de probable haber nacido un 1 de enero que un 22 de noviembre, es decir, existe una probabilidad igual a 1/365 de nacer un día en concreto; así pues, para la primera de esas treinta personas tenemos 365 días en los que puede celebrar su cumpleaños. Para que la segunda no coincida con ella, solamente tendremos 364 días libres, o lo que es lo mismo, tiene una probabilidad de 364/365 de no haber nacido el mismo día que la primera; la tercera persona tendrá que cumplir años en los otros 363 días; la cuarta sólo tiene ya 362 opciones, es decir, una probabilidad igual a 362/365 de no coincidir con las tres primeras personas; la quinta...; y así sucesivamente hasta llegar a la última persona, que tendrá libres 336 días del año.
¿Cuál es entonces esta probabilidad? Pues, como estamos tratando con sucesos independientes (el nacimiento de una persona no depende del de la de otra), basta con multiplicar los treinta cocientes, tal y como se muestra a continuación:

Estaremos todos de acuerdo en que la probabilidad contraria a ésta es la que os pregunté al principio, es decir, que al menos dos personas hayan nacido el mismo día; por lo tanto, a 1 le restamos el valor anterior para concluir que dicha probabilidad es del 70'63%. ¿A que pensabais que era mucho menos? Bueno, si eres matemático seguro que no has caído en la paradoja, pero estoy seguro de que el resto no se esperaba una respuesta como ésta.
¿Por qué hemos obtenido un valor tan alto? La explicación es muy simple: somos nosotros los que nos equivocamos al interpretar la cuestión inicial, puesto que no nos están preguntado cuál es la probabilidad de que una persona en concreto nazca el mismo día que otra, sino si existe cualquier pareja que cumpla esa condición. En el primer caso, la probabilidad es muy baja (sólo existen 29 casos posibles), concretamente un 7'65%, pero ya hemos visto que en el segundo caso es bastante mayor. Esto es precisamente lo que nos lleva a llamar paradoja a este curioso problema, y no porque sea una contradicción, sino porque va en contra de nuestra intuición.
Muchos de vosotros quizás os estaréis preguntando ahora cuál es el mínimo número de personas que tenemos que reunir para que exista una probabilidad mayor del 50% de que dos de ellas cumplan años el mismo día. Solamente hacen falta 23 individuos, pues la probabilidad ya sería igual a 50'73%. Si queréis comprobarlo, no tenéis más que utilizar la siguiente fórmula genérica y sustituir el valor n por el número de personas que estéis considerando:

Para ahorraros algunos cálculos y adelantaros varias sorpresas, os diré que en una reunión de 35 personas la probabilidad ya supera el 80% (en concreto, un 81'44%); si tuviésemos a 41 individuos, ya sería del 90'32%; con 47, alcanzamos el 95% (un 95'48% exactamente); y para tener una probabilidad del 99% solamente necesitaríamos a 57 personas (sería del 99'01%). En la siguiente gráfica, podéis observar cómo se comporta esta curiosa probabilidad, la cual crece bastante rápido al principio para luego estabilizarse cuando ya está muy próxima al 100%.

Una vez explicada esta paradoja tan sorprendente, ¿qué os parece si la llevamos a la práctica para comprobar si se cumple o no? Antes comenté que en un grupo de 23 personas existe aproximadamente una probabilidad del 50% de encontrar a dos que hayan nacido el mismo día, o sea, que la paradoja se cumplirá en la mitad de los ejemplos que busquemos. Empecemos con mi familia, la cual está compuesta precisamente por 22 personas, entre las que se incluyen mis abuelos, mis tíos y tías con sus respectivas parejas, mis primos, mis padres, mi hermana y yo. Primer intento positivo, puesto que mi tía Inma y mi primo Alberto nacieron un 9 de julio, y no sé si hay alguna coincidencia más porque no me sé las fechas de los cumpleaños de toda mi familia.
Probemos con un segundo ejemplo. Esta vez, voy a consultar qué día nacieron los compañeros de colegio que tengo agregados en Tuenti, que en total son 18. De nuevo, y a pesar de que partimos con una probabilidad del 34'69%, tenemos a dos compañeras, Alicia y Ana, que cumplen años el 2 de septiembre. Sigamos con un tercer caso de estudio. Ahora, me paso por Facebook para buscar a aquellos compañeros de la universidad que tengo añadidos como amigos y comprobar cuándo celebran sus respectivos cumpleaños. Son solamente 12 personas, es decir, el equivalente a un 16'7% de encontrar a dos que compartan día de nacimiento, pero aún así me topo con Humberto y Jesús, quienes nacieron un 7 de octubre. Tres de tres, y eso que todas ellas eran más improbables que probables.

Para que nadie diga que esto está preparado, voy a mostraros dos ejemplos más. En el primero, analizamos la plantilla actual del equipo de mis amores, el Málaga C. F., que se compone casualmente de 23 jugadores (no tendré en cuenta a Hélder Rosario y Edinho, que están descartados extraoficialmente, ni a Juanmi, Portillo y Recio, que tienen ficha del filial), los justos para que la probabilidad de acierto sea ya superior al 50%. ¿Habrá alguna coincidencia? Pues sí, ya que Eliseu y Baptista soplan las velas el 1 de octubre. Un último ejemplo con los 15 ministros españoles que, a la espera de que se nombren los del nuevo Gobierno, apuran sus últimos días en el cargo. Resulta que Manuel Chaves (ministro de Política Territorial y Administración Pública) y Rosa Aguilar (ministra de Medio Ambiente, Medio Rural y Marino) están empeñados en que la paradoja del cumpleaños se siga cumpliendo con un pleno de aciertos, y es que ambos políticos nacieron un 7 de julio.
Si a priori ya nos parecía complicado que dos personas cualesquiera dentro de un grupo de treinta compartieran su día de nacimiento, ¿cuán complicado es que en los cinco ejemplos que hemos analizado hayamos encontrado parejas de cumpleañeros, teniendo en cuenta además que en éstos era más probable fallar que acertar? Será la magia de la paradoja del cumpleaños, o, mejor dicho, la magia de las matemáticas, porque os invito a que probéis vosotros mismos con situaciones tan cercanas como las que yo os he expuesto, y estoy seguro que en más de una hallaréis a un par de individuos que hayan nacido el mismo día.
Ya para terminar, os dejo con un par de cuestiones un tanto intrigantes:

• ¿Es una simple casualidad que un gran porcentaje de mis amigos cumplan años en los meses de abril y octubre?
• ¿Cuál sería la probabilidad de que en un grupo de n personas dos de ellas hayan nacido el mismo día del mismo año?

Nota: este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta decimoctava edición, también denominada 2.8, está organizado por Gabriel Ivorra a través de su blog Ciencia Conjunta.