El juego de las 20 monedas

Por todos los profesores es sabido que las horas de guardia en las que tenemos que sustituir a un compañero que no ha podido ir ese día a trabajar por algún motivo son de las más temidas, y es que tener que vigilar a un grupo de alumnos a los que solamente conoces de cruzártelos por los pasillos y que se toma esa clase como una hora libre no es lo que más nos gusta a los docentes, por más que ese profesor haya dejado tarea y se le diga a los alumnos que tienen que hacerla, que el profesor la va a recoger el próximo día o que cuenta para nota. Uno va a esas clases rezando por que al menos los alumnos no monten demasiado alboroto y que la hora se pase lo más rápido posible para que llegue la siguiente y pueda hacer lo que realmente le gusta, que es dar clase, en mi caso de Matemáticas.

Lo ideal es que los alumnos aprovechen esa hora para aprender, que para algo están en un centro educativo, bien sea realizando las actividades que haya mandado el profesor al que se está sustituyendo, dando un último repaso para el examen que tengan más tarde, adelantando los deberes de otras materias, o, por qué no, jugando. Esto es precisamente lo que yo intento cuando me toca cubrir a un compañero que ha faltado, porque también se puede aprender a través de un juego, y si es de Matemáticas mucho mejor. Cada vez que recurro a un juego, casi todos los alumnos (por desgracia, no siempre todos) empiezan a prestar atención y no dudan en participar, sobre todo cuando les reto a que me ganen, porque eso de vencer a un profesor es algo realmente motivador para un adolescente. Es por ello que se me ha ocurrido compartir con vosotros uno de esos juegos que les propongo por si no lo conocéis (no lo he inventado yo, lo descubrí hace varios años) y queréis usarlo en una de esas eternas horas de guardia.
Lo he llamado 'El juego de las 20 monedas', pero en vez de monedas podría haber dicho fichas, bolas, palillos o cualquier otro objeto, eso no afecta a la sencilla mecánica de este juego para dos personas, que es el siguiente:

• Se disponen 20 monedas en una mesa (no hace falta que estén ordenadas de ninguna forma en particular).
• En cada turno, cada jugador puede retirar una, dos o tres monedas.
• Gana el jugador que retira la última moneda.

Cuando juego en clase, en vez de sacar 20 monedas, lo que hago es dibujar 20 círculos en la pizarra, y, en vez de retirar monedas, lo que hago es tachar o borrar esos círculos. En cualquier caso, independientemente del material utilizado, si los dos jugadores juegan perfecto, ¿quién gana: el primer o el segundo jugador? ¿Y cuál es la estrategia ganadora de este juego? A priori puede parecer difícil responder a estas dos preguntas, pero en realidad no es tan complicado averiguar qué movimiento hay que hacer en cada turno o qué jugador tiene ventaja en función de si es el que comienza la partida o si es el segundo. Antes de desvelarte qué hay que hacer para ganar, te dejo unos minutos para que juegues unas cuantas partidas, a ver si consigues darte cuenta de dónde está el truco.

La clave está en razonar la partida desde el final. Es evidente que, si en la última jugada quedan una, dos o tres monedas, el jugador que tenga el turno gana el juego (recuerdo que estamos suponiendo que ambos jugadores juegan con la mejor estrategia posible para ganar). Ahora bien, ¿cuántas monedas había en la jugada previa? Veamos los casos posibles:

• Una moneda en la última jugada: en la jugada previa solamente podría haber dos (se ha retirado una moneda), tres (se han retirado dos) o cuatro monedas (se han retirado tres). Si hubiese dos, en dicho turno el otro jugador habría retirado todas las monedas y habría ganado, luego esta jugada no se ha dado. Lo mismo ocurre si hubiese tres, puesto que el otro jugador habría retirado las tres para ganar. Así pues, si en la última jugada queda una moneda es porque en la jugada anterior había cuatro y se han retirado tres.
• Dos monedas en la última jugada: en la jugada previa solamente podría haber tres (se ha retirado una moneda), cuatro (se han retirado dos) o cinco monedas (se han retirado tres). Si hubiese tres, en dicho turno el otro jugador habría retirado todas las monedas y habría ganado, luego esta jugada no se ha dado. Si hubiese cinco, el otro jugador habría retirado solamente una para dejar cuatro y asegurarse ganar en su siguiente turno. Así pues, si en la última jugada quedan dos monedas es porque en la jugada anterior había cuatro y se han retirado dos.
• Tres monedas en la última jugada: en la jugada previa solamente podría haber cuatro (se ha retirado una moneda), cinco (se han retirado dos) o seis monedas (se han retirado tres). Si hubiese cinco, en dicho turno el otro jugador habría retirado solamente una moneda para dejar cuatro y asegurarse ganar en su siguiente turno, luego esta jugada no se ha dado. Lo mismo ocurre si hubiese seis, puesto que el otro jugador habría retirado dos para ganar en su siguiente turno. Así pues, si en la última jugada quedan tres monedas es porque en la jugada anterior había cuatro y se ha retirado una.

Del análisis anterior se deduce que el jugador que va a ganar tiene que dejar cuatro monedas en su penúltimo turno para asegurarse la victoria, para lo cual necesita dejar ocho en su antepenúltimo turno, y doce en el turno anterior, y así sucesivamente hasta las veinte monedas iniciales. Por lo tanto, tiene estrategia ganadora la persona que juega en segundo lugar, por lo que perderá la que empiece la partida. ¿Y en qué consiste exactamente dicha estrategia ganadora? Pues muy fácil: el segundo jugador tiene que retirar el complemento a 4 de monedas de su contrincante. ¿Cómo? ¿Qué es eso de complemento a 4? Consiste en retirar una moneda si el primer jugador ha retirado tres; dos si el primer jugador ha retirado dos; y tres si el primer jugador ha retirado una. De esta forma, cada dos turnos (uno de cada jugador) siempre queda sobre la mesa (o en la pizarra) un número de monedas múltiplo de 4, por lo que el segundo jugador ganará la partida.

En la imagen anterior se puede ver un ejemplo de partida entre dos jugadores: el rojo, que empieza y retira monedas en los turnos impares (1, 3, 5, 7 y 9); y el azul, el segundo en jugar y que, por lo tanto, retira monedas en los turnos pares (2, 4, 6, 8 y 10). En el primer turno, el rojo retira una moneda; luego, el azul retira tres, dejando 16 monedas; después, el rojo, retira dos monedas; le sigue el azul quitando otras dos para dejar 12 monedas; y así continúa la partida hasta que el azul retira la última moneda, ganando la partida.
Mi experiencia con los alumnos es bastante satisfactoria. Primero convenzo a uno para que juegue contra mí, y cortésmente le doy la 'ventaja' de empezar para que crea que así tiene más posibilidades de ganar, cuando en realidad es todo lo contrario, y claro, gano yo. Los demás alumnos se animan a enfrentarse a mí con la esperanza de ganarme y poder presumir de ello, pero fracasan; no obstante, después de ganar tres o cuatro partidas ya hay alumnos que empiezan a pensar que hay algún truco en el juego y se ponen a analizar las partidas que voy jugando. Hay quien incluso me pide que empiece yo, ofrecimiento que acepto para que no parezca que ahí está una de las claves de la victoria, pero entonces me veo obligado a esperar el primer fallo de mi contrincante para dejar un número de monedas (círculos en la pizarra) que sea múltiplo de 4 y recobrar la ventaja para ganar. No siempre, pero alguna que otra vez ha habido algún alumno que ha encontrado la estrategia ganadora y me ha vencido, lógicamente tras obligarme a empezar para que él se asegure la victoria.
¿Qué pasa si el número de monedas iniciales es distinto de 20? ¿Y si se puede retirar otra cantidad de monedas, cuatro por ejemplo? ¿Cuál es entonces la estrategia ganadora? ¿Y quién gana: el primer o el segundo jugador? Estas nuevas variantes del juego os toca a vosotros analizarlas, que ya me he enrollado demasiado, y así le dais vueltas al coco (podéis explicar en los comentarios cómo habría que jugar para ganar, y ya os confirmo si estáis en lo cierto o no), que es de lo que se trata. Precisamente eso es lo que intento, y a veces consigo, hacer con mis alumnos para que las horas de guardia no sean eternas, sino productivas y amenas, y encima haciendo matemáticas.

Nota: este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta octagésima quinta edición, también denominada X.5: Número de Sierpinski, está organizado por Miguel Ángel Morales Medina a través de su blog Gaussianos.