Cuéntame cómo cuento (II)

En la primera entrada de esta serie dedicada a la historia de los números y sus sistemas de representación, hicimos un repaso acerca de cómo surgió la necesidad de contar y de cómo posteriormente los babilonios y los egipcios se las ingeniaron para crear símbolos con los que representar cualquier cantidad en tablillas cuneiformes, papiros, piedras, etc. Hoy vamos a continuar con esta larga historia, y empezaremos con otra de las grandes civilizaciones de la Antigüedad, en concreto la griega.
Las matemáticas no serían lo que son hoy sin Grecia. ¿Quién no conoce a Thales de Mileto o Pitágoras? ¿Quién no recuerda sus famosos teoremas? ¿Y qué decir de Euclides, Diofanto o Arquímedes? Los griegos nos han legado innumerables conceptos matemáticos relacionados principalmente con la aritmética y la geometría, pero qué duda cabe que para dejar constancia de todo ese saber y poder transmitirlo tuvieron que utilizar números y, por lo tanto, sistemas de numeración. A lo largo de toda su historia, emplearon no uno, sino varios sistemas, pero destacan sobre todo dos de ellos: la numeración ática y la jónica.

Comenzamos con la primera, que por algo surgió antes, sobre los siglos VIII y VII a. C. Si la ponemos en relación con lo que vimos en la otra entrada, podemos decir que la ática guarda cierto parecido con el sistema de numeración egipcio, puesto que el ático heredó de éste las sucesivas potencias de diez como base para representar los números, en concreto el 1, el 10, el 100, el 1.000 y el 10.000; no obstante, también consideraron otros símbolos para el 5, el 50, el 500, el 5.000 y el 50.000. La elección de los símbolos no fue casual. Exceptuando el 1, cuya representación es común en casi todos los sistemas que veremos en esta serie de entradas, los símbolos del 5, del 10, del 100, del 1.000 y del 10.000 se obtienen a partir de la letra inicial de sus correspondientes palabras en griego: penta (pi), deka (delta), ekaton (eta), khiloi (ji) y megas (mi). Por este motivo, este sistema suele tener el apelativo de acrofónico. En la imagen superior, aparece cada símbolo con su correspondiente valor, aunque faltan el 10.000 (M) y el 50.000, cuyo símbolo es una combinación del anterior y el del 5, al estilo de los símbolos del 50, el 500 y el 5.000.
Al igual que la numeración egipcia, el sistema de numeración ático no es posicional, sino aditivo, es decir, que para construir cualquier número lo que hacían era utilizar los símbolos necesarios; por ejemplo, para escribir el número 4.738 utilizaban cuatro símbolos de 1.000, uno de 500, dos de 100, tres de 10, uno de 5 y tres de 1. ¿Qué conclusión sacamos? Pues que era bastante ineficiente debido a la gran cantidad de símbolos que debían emplear; claro que hay que tener en cuenta que ahora es muy fácil dar esta opinión, pero en aquellos tiempos puede que no fuera tan problemático. Por cierto, ahora que ya hemos analizado la numeración ática, ¿no os recuerda a la numeración romana? Si os habéis dado cuenta de este detalle, no vais por mal camino, puesto que los números romanos están basados en parte en la numeración ática, como veremos más tarde.

Seguimos con la numeración jónica o alejandrina, que fue la otra que usaron los griegos y que se desarrolló a partir del siglo IV a. C. aproximadamente para reemplazar a la que acabamos de describir. El objetivo era precisamente reducir el tamaño de los números en lo que a dígitos se refiere, así que para ello se les ocurrió definir un conjunto de símbolos más grande. Básicamente, lo que hicieron fue coger las 24 letras de su alfabeto para que cada una de ellas fuera la representación de las nueve unidades, las nueve decenas y las nueve centenas; como les faltaban tres símbolos, rescataron tres letras que habían caído en desuso para representar el 6 (digamma), el 90 (qoppa) y el 900 (sampi). Tal y como se puede apreciar en la imagen, cada símbolo se acompañaba de un acento o comilla para poder diferenciar entre números y letras.
De nuevo nos encontramos con un caso de sistema aditivo no posicional, ya que cada número se construía a partir de los símbolos necesarios cuyos valores sumaban precisamente la cantidad en cuestión. ¿Y qué pasa con los miles? Pues para ello colocaban una coma junto a las correspondientes unidades, decenas y centenas de millar. Por lo tanto, se puede decir aquéllo de "objetivo cumplido": si volvemos al ejemplo de la numeración ática, el número 4.738 sólo necesita de una coma y cuatro símbolos (una delta, una psi, una lambda y una eta) con sus correspondientes acentos para ser representado, en contraste con los catorce del sistema ático. La única pega es que los símbolos, a pesar de que se usaban los acentos, no dejaban de ser las letras del alfabeto y, por consiguiente, un tanto lioso a la hora de leer un texto. Prácticamente idéntico al jónico es el sistema de numeración cirílico, que está basado en aquél y también consta de 27 símbolos para representar los números por unidades, decenas y centenas.

Pasamos ahora a hablar del sistema de numeración etrusco. Bien es cierto que la etrusca no fue una civilización tan importante como la babilónica, la egipcia o la griega, pero dentro de poco descubriremos que juega un papel muy importante en otra gran civilización. Para empezar, hay que decir que la numeración etrusca no es más que una copia de la ática que analizamos al principio, aunque, obviamente, con símbolos diferentes. Como podéis comprobar en la imagen de arriba, el 1 se mantiene fiel al palito vertical. Con respecto al 5 y al 10, parece ser que tienen un origen común, pues se piensa que el símbolo del 10 era el resultado de tachar el décimo palito vertical para que luego fuese más fácil de contar; por lo cual, el 5 se reduciría a considerar la mitad superior del símbolo del 10, aunque hay quien asegura que la representación original del 5 es una V invertida. Para el resto de símbolos, los etruscos no se complicaron mucho la vida: le añadieron un palito vertical a los símbolos del 5 y del 10 para obtener respectivamente el 50 y el 100, mientras que un círculo sobre el símbolo del 10 era el 1.000, y 500, pues su mitad diagonal. Al igual que el sistema ático, para representar cualquier número los etruscos tomaban todos los símbolos que fuesen necesarios teniendo en cuenta los valores correspondientes a cada uno de ellos.
¿No os suenan algunos de los símbolos anteriores? ¡Claro! Los símbolos del 1, del 5 y del 10 son idénticos a los de la numeración romana. No nos tendría que extrañar demasiado al saber que el pueblo etrusco estuvo asentado en el centro de la actual Italia, justamente donde nació el Imperio Romano. No se quedan aquí las similitudes, puesto que casi todos los demás numerales romanos también proceden de los etruscos. La L del 50 es una simple deformación del 50 etrusco, ya que las dos líneas oblicuas se fueron aplanando hasta formar una T invertida, quedando finalmente la citada L para simplificar la escritura. La C del 100 es posible que también tenga su origen en una deformación de su homólogo etrusco, pero casi todos coinciden en que es simplemente la inicial de la palabra cien en latín (centum). La D del 500 es muy fácil de comparar con su correspondiente símbolo etrusco, ya que con poner derecho dicho símbolo y eliminar la línea que lo cruza para obtener la citada letra. Sólo nos queda por analizar la M de 1.000, que al igual que la C se corresponde con la primera letra de la palabra mil en latín (milia, mille); sin embargo, se piensa que su origen pudiera estar en la letra griega digamma, cuya representación no difiere mucho de la de phi, por lo que de aquí también se podría deducir que de su mitad se obtuvo la D del 500, que es la mitad de 1.000.

En resumidas cuentas, podemos decir que la numeración romana utiliza únicamente siete símbolos que podemos clasificar en dos grupos:

• Principales o de tipo 1: I (1), X (10), C (100) y M (1.000).
• Secundarios o de tipo 5: V (5), L (50) y D (500).

¿Por qué hemos hecho esta diferenciación? Pues porque la numeración romana es aditiva pero también sustractiva, y es importante saber de qué tipo es cada símbolo para poder aplicar las reglas que permiten construir cualquier número en este sistema:

• Los símbolos se escriben y leen de izquierda a derecha y en orden decreciente según su valor.
• Los símbolos principales pueden repetirse a lo sumo tres veces, mientras que los secundarios no se pueden repetir.
• Un símbolo de tipo 1 sólo restará cuando aparezca a la izquierda de uno de tipo 1 o de tipo 5 inmediatamente superior en valor, es decir, I solamente puede anteceder a V o X, mientras que X sólo se puede escribir antes de L o C, y C antes de D o M.
• Si el valor a representar es mayor o igual a 4.000, se coloca una línea horizontal sobre los símbolos correspondientes para multiplicar el número por mil.

Conocidas estas sencillas reglas, es muy fácil traducir los números que están grabados en la placa que se muestra en la imagen superior. En la cuarta línea se deja constancia de la fecha en la que tuvo lugar la batalla (el 7 y el 8 de junio de 1809); en la siguiente se indica que se ha conmemorado el 175 aniversario de ésta, lo cual encaja con el año que aparece en la última línea, que es 1.984. No deja de resultar curioso que, todavía a estas alturas de la historia, ningún sistema de numeración le haya asignado un símbolo al cero, y los romanos no fueron menos, ya que en aquellos tiempos se consideraba que la nada no se podía contabilizar; por esta razón, los únicos números que representaban eran mayores o iguales que 1, como hemos visto. Tendrán que pasar varios siglos para solucionar este problema.

Y si es curiosa la ausencia del cero, para mí lo es más que por contra sí tuvieran un cuenta las fracciones, cosa que ya vimos que utilizaban los babilonios y los egipcios. Los romanos también tenían un sistema para representar números racionales, pero paradójicamente usaban la base doce y no la decimal, que es la que regula los numerales que hemos analizado antes. ¿Qué es lo que hacían? Utilizaban un punto para referirse a una doceava parte (1/12), y añadían un punto más para cada fracción hasta llegar a la de 6/12, que, como era la mitad, la simbolizaban con una S, la primera letra de la palabra latina semis; para el resto de fracciones, añadían los puntos necesarios hasta llegar a la unidad completa. Las monedas romanas son un buen ejemplo para ver las fracciones, como la que muestra en la imagen. Si os fijáis, en las dos caras de la moneda aparecen grabados tres puntos, lo cual quiere decir que su valor es la cuarta parte de la unidad monetaria romana, el as; de hecho, esta moneda se denominaba quadrans, y por regla general todas las monedas fraccionarias del as eran llamadas por la fracción que representaban (uncia, sextans, quadrans, triens, quincunx, semis, septunx, etc.), unos términos muy similares a los que usamos en nuestro idioma.
En la próxima entrega de esta serie de entradas, seguiremos avanzando por la historia de los números y sus sistemas de representación.

Nota: este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta vigesimosegunda edición, también denominada 3.14, está organizado por el blog Hablando de Ciencia.